حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x e^{x}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $x e^{x}$ غير معرّفة.

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 2

تظهر خطوط التقارب الرأسية في مناطق عدم الاتصال اللانهائي.

لا توجد خطوط تقارب رأسية

خطوة 3

احسِب قيمة $lim_{x \to - \infty} x e^{x}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $x e^{x}$ بالصيغة $\frac{x}{e^{- x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

خطوة 3.2.1.2

النهاية عند قيمة غير متناهية سالبة لمتعدد حدود ذي درجة فردية ومعامله الرئيسي موجب تساوي قيمة غير متناهية سالبة.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

خطوة 3.2.1.3

بما أن الأُس $- x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{- x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 3.2.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 3.2.2

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

خطوة 3.2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

خطوة 3.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 3.2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 3.2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 3.2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

خطوة 3.2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

خطوة 3.2.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

خطوة 3.2.3.7

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

خطوة 3.2.3.8

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

خطوة 3.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

خطوة 3.2.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

خطوة 3.3

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

خطوة 3.4

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{e^{- x}}$ يقترب من $0$ .

$- 0$

خطوة 3.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0$

خطوة 4

اسرِد خطوط التقارب الأفقية:

$y = 0$

خطوة 5

لا يوجد خط تقارب مائل لأن درجة بسْط الكسر أصغر من أو تساوي درجة القاسم.

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 6

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

لا توجد خطوط تقارب رأسية

خطوط التقارب الأفقية: $y = 0$

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 7