حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{5}{2} x^{2}$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اجمع $\frac{5}{2}$ و $x^{2}$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{2}$

خطوة 1.1.2

أكمل المربع لـ $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = \frac{5}{2}$

$b = 0$

$c = 0$

خطوة 1.1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{5}{2})}$

خطوة 1.1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{5}{2})}$

خطوة 1.1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{5}{2})}$

خطوة 1.1.2.3.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{0}{\frac{5}{2}}$

خطوة 1.1.2.3.2.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$d = 0 (\frac{2}{5})$

خطوة 1.1.2.3.2.3

اضرب $0$ في $\frac{2}{5}$ .

$d = 0$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{5}{2})}$

خطوة 1.1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{5}{2})}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.2

اجمع $4$ و $\frac{5}{2}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 5}{2}}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.3

اضرب $4$ في $5$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{20}{2}}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.4

اقسِم $20$ على $2$ .

$e = 0 - \frac{0}{10}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.5

اقسِم $0$ على $10$ .

$e = 0 - 0$

خطوة 1.1.2.4.2.1.6

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e = 0 + 0$

خطوة 1.1.2.4.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$e = 0$

خطوة 1.1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $\frac{5}{2} x^{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{2}$

خطوة 1.1.3

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = \frac{5}{2} x^{2}$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = \frac{5}{2}$

$h = 0$

$k = 0$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى.

مفتوح إلى أعلى

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(0, 0)$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{5}{2}}$

خطوة 1.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اجمع $4$ و $\frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 5}{2}}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

اضرب $4$ في $5$ .

$\frac{1}{\frac{20}{2}}$

خطوة 1.5.3.2.2

اقسِم $20$ على $2$ .

$\frac{1}{10}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, \frac{1}{10})$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = 0$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = - \frac{1}{10}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(0, 0)$

البؤرة: $(0, \frac{1}{10})$

محور التناظر: $x = 0$

الدليل: $y = - \frac{1}{10}$

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(0, 0)$

البؤرة: $(0, \frac{1}{10})$

محور التناظر: $x = 0$

الدليل: $y = - \frac{1}{10}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{2}}{2}$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(- 2)}^{2}$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{5 {(- 1 \cdot 2)}^{2}}{2}$

خطوة 2.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{5 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2}$

خطوة 2.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = \frac{5 (1 \cdot 2^{2})}{2}$

خطوة 2.2.1.4

اضرب $2^{2}$ في $1$ .

$f (- 2) = \frac{5 \cdot 2^{2}}{2}$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $2$ من $5 \cdot 2^{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2}$

خطوة 2.2.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- 2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2 (1)}$

خطوة 2.2.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 2) = \frac{5 \cdot 2}{1}$

خطوة 2.2.1.6.4

اقسِم $5 \cdot 2$ على $1$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 2$

خطوة 2.2.2

اضرب $5$ في $2$ .

$f (- 2) = 10$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي $10$ .

$10$

خطوة 2.3

قيمة $y$ عند $x = - 2$ تساوي $10$ .

$y = 10$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = \frac{5 {(- 1)}^{2}}{2}$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = \frac{5 \cdot 1}{2}$

خطوة 2.5.2

اضرب $5$ في $1$ .

$f (- 1) = \frac{5}{2}$

خطوة 2.5.3

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

خطوة 2.6

قيمة $y$ عند $x = - 1$ تساوي $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \frac{5 {(2)}^{2}}{2}$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(2)}^{2}$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

أخرِج العامل $2$ من $5 {(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2}$

خطوة 2.8.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2 (1)}$

خطوة 2.8.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.8.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (2) = \frac{5 \cdot 2}{1}$

خطوة 2.8.1.2.4

اقسِم $5 \cdot 2$ على $1$ .

$f (2) = 5 \cdot 2$

خطوة 2.8.2

اضرب $5$ في $2$ .

$f (2) = 10$

خطوة 2.8.3

الإجابة النهائية هي $10$ .

$10$

خطوة 2.9

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $10$ .

$y = 10$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \frac{5 {(1)}^{2}}{2}$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = \frac{5 \cdot 1}{2}$

خطوة 2.11.2

اضرب $5$ في $1$ .

$f (1) = \frac{5}{2}$

خطوة 2.11.3

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

خطوة 2.12

قيمة $y$ عند $x = 1$ تساوي $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 10 \\ - 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{5}{2} \\ 2 & 10 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(0, 0)$

البؤرة: $(0, \frac{1}{10})$

محور التناظر: $x = 0$

الدليل: $y = - \frac{1}{10}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 10 \\ - 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{5}{2} \\ 2 & 10 \end{array}$

خطوة 4