حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ غير معرّفة.

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 2

تظهر خطوط التقارب الرأسية في مناطق عدم الاتصال اللانهائي.

لا توجد خطوط تقارب رأسية

خطوة 3

احسِب قيمة $lim_{x \to \infty} \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اختزِل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 7}$ في صورة ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $x^{2} + 7$ من $2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 7}$

خطوة 3.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

اضرب في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

خطوة 3.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

خطوة 3.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

خطوة 3.1.3.4

اقسِم $2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 3.1.4

انقُل ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x^{2} + 7}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

خطوة 3.4

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 3.5.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 3.5.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 3.5.5

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 3.5.6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 3.5.7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 3.5.8

انقُل الحد $7$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 3.6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

خطوة 3.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

اضرب $7$ في $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

خطوة 3.7.1.2

أضف $1$ و $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

خطوة 3.7.1.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cdot 1$

خطوة 3.7.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 4

احسِب قيمة $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اختزِل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 7}$ في صورة ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 7}$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $x^{2} + 7$ من $2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 7}$

خطوة 4.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اضرب في $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

خطوة 4.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

خطوة 4.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

خطوة 4.1.3.4

اقسِم $2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ على $1$ .

$lim_{x \to - \infty} 2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 4.1.4

انقُل ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.3

أعِد كتابة ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x^{2} + 7}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

خطوة 4.4

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 4.5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 4.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 4.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 4.5.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 4.5.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 4.5.5

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 4.5.6

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 4.5.7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 4.5.8

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

خطوة 4.5.9

انقُل الحد $7$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 4.6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

خطوة 4.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

خطوة 4.7.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0}})$

خطوة 4.7.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

اضرب $7$ في $0$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}})$

خطوة 4.7.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

خطوة 4.7.2.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$2 (- \frac{1}{1})$

خطوة 4.7.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (- \frac{1}{1})$

خطوة 4.7.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 4.7.4

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 \cdot - 1$

خطوة 4.7.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2$

خطوة 5

اسرِد خطوط التقارب الأفقية:

$y = 2, - 2$

خطوة 6

استخدِم قسمة متعددات الحدود لإيجاد خطوط التقارب المائلة. نظرًا إلى أن هذه العبارة تتضمن جذرًا، لا يمكن إجراء قسمة متعددات الحدود.

لا يمكن إيجاد خطوط تقارب مائلة

خطوة 7

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

لا توجد خطوط تقارب رأسية

خطوط التقارب الأفقية: $y = 2, - 2$

لا يمكن إيجاد خطوط تقارب مائلة

خطوة 8