حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد نطاق $y = x \sqrt{16 - x^{2}}$ بحيث يمكن انتقاء قائمة قيم $x$ لإيجاد قائمة النقاط، والتي ستساعد في رسم الدالة الجذرية بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة العبارة $4 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

عيّن قيمة $4 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 + x = 0$

خطوة 1.2.2.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 1.2.3

عيّن قيمة العبارة $4 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عيّن قيمة $4 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 - x = 0$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 4$

خطوة 1.2.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 4$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$x = 4$

خطوة 1.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 4, 4$

خطوة 1.2.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

خطوة 1.2.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 1.2.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

خطوة 1.2.6.1.3

الطرف الأيسر $- 20$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 1.2.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 4 < x < 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 4 < x < 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 1.2.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

خطوة 1.2.6.2.3

الطرف الأيسر $16$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 1.2.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 1.2.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

خطوة 1.2.6.3.3

الطرف الأيسر $- 20$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 1.2.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 4$ خطأ

$- 4 < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

$x < - 4$ خطأ

$- 4 < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

خطوة 1.2.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 4 \leq x \leq 4$

خطوة 1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- 4, 4]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

ترميز الفترة:

$[- 4, 4]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

خطوة 2

لإيجاد نقاط النهاية، عوّض بحدود قيم $x$ من النطاق في $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f (- 4) = - 4 \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف الأقواس.

$f (- 4) = - 4 \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

خطوة 2.2.2

اطرح $4$ من $4$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 (4 - (- 4))}$

خطوة 2.2.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 (4 + 4)}$

خطوة 2.2.4

أضف $4$ و $4$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 \cdot 8}$

خطوة 2.2.5

اضرب $0$ في $8$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0}$

خطوة 2.2.6

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.2.7

اضرب العدد في صفر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 4) = - 4 \cdot 0$

خطوة 2.2.7.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$f (- 4) = 0$

خطوة 2.2.8

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 2.3

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = 4 \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

خطوة 2.4

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

احذِف الأقواس.

$f (4) = 4 \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

خطوة 2.4.2

أضف $4$ و $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{8 (4 - (4))}$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{8 (4 - 4)}$

خطوة 2.4.4

اطرح $4$ من $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{8 \cdot 0}$

خطوة 2.4.5

اضرب $8$ في $0$ .

$f (4) = 4 \sqrt{0}$

خطوة 2.4.6

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$f (4) = 4 \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.7

اضرب العدد في صفر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (4) = 4 \cdot 0$

خطوة 2.4.7.2

اضرب $4$ في $0$ .

$f (4) = 0$

خطوة 2.4.8

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3

نقاط النهاية هي $(- 4, 0), (4, 0)$ .

$(- 4, 0), (4, 0)$

خطوة 4

حدد بضع قيم $x$ من النطاق. سيكون من المفيد أكثر تحديد القيم بحيث تكون مجاورة لقيمة $x$ لنقطة نهاية العبارة الجذرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 3$ في $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 3, - 3 \sqrt{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f (- 3) = - 3 \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

احذِف الأقواس.

$f (- 3) = - 3 \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

خطوة 4.1.2.2

اطرح $3$ من $4$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{1 (4 - (- 3))}$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $4 - (- 3)$ في $1$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{4 - (- 3)}$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{4 + 3}$

خطوة 4.1.2.5

أضف $4$ و $3$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{7}$

خطوة 4.1.2.6

الإجابة النهائية هي $- 3 \sqrt{7}$ .

$y = - 3 \sqrt{7}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ في $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 2, - 4 \sqrt{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

خطوة 4.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

احذِف الأقواس.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $2$ من $4$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 (4 - (- 2))}$

خطوة 4.2.2.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 (4 + 2)}$

خطوة 4.2.2.4

أضف $4$ و $2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 \cdot 6}$

خطوة 4.2.2.5

اضرب $2$ في $6$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{12}$

خطوة 4.2.2.6

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.6.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{4 (3)}$

خطوة 4.2.2.6.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

خطوة 4.2.2.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- 2) = - 2 (2 \sqrt{3})$

خطوة 4.2.2.8

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f (- 2) = - 4 \sqrt{3}$

خطوة 4.2.2.9

الإجابة النهائية هي $- 4 \sqrt{3}$ .

$y = - 4 \sqrt{3}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ في $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 1, - \sqrt{15})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

احذِف الأقواس.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

خطوة 4.3.2.2

اطرح $1$ من $4$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 (4 - (- 1))}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 (4 + 1)}$

خطوة 4.3.2.4

أضف $4$ و $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 \cdot 5}$

خطوة 4.3.2.5

اضرب $3$ في $5$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{15}$

خطوة 4.3.2.6

أعِد كتابة $- 1 \sqrt{15}$ بالصيغة $- \sqrt{15}$ .

$f (- 1) = - \sqrt{15}$

خطوة 4.3.2.7

الإجابة النهائية هي $- \sqrt{15}$ .

$y = - \sqrt{15}$

خطوة 4.4

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ في $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(0, 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 0 \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

خطوة 4.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

احذِف الأقواس.

$f (0) = 0 \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

خطوة 4.4.2.2

أضف $4$ و $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 (4 - (0))}$

خطوة 4.4.2.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 (4 + 0)}$

خطوة 4.4.2.4

أضف $4$ و $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 \cdot 4}$

خطوة 4.4.2.5

اضرب $4$ في $4$ .

$f (0) = 0 \sqrt{16}$

خطوة 4.4.2.6

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4^{2}}$

خطوة 4.4.2.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (0) = 0 \cdot 4$

خطوة 4.4.2.8

اضرب $0$ في $4$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.4.2.9

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ في $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(1, \sqrt{15})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 1 \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

احذِف الأقواس.

$f (1) = 1 \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

خطوة 4.5.2.2

اضرب $\sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$ في $1$ .

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

خطوة 4.5.2.3

أضف $4$ و $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - (1))}$

خطوة 4.5.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - 1)}$

خطوة 4.5.2.5

اطرح $1$ من $4$ .

$f (1) = \sqrt{5 \cdot 3}$

خطوة 4.5.2.6

اضرب $5$ في $3$ .

$f (1) = \sqrt{15}$

خطوة 4.5.2.7

الإجابة النهائية هي $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

خطوة 4.6

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ في $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(2, 4 \sqrt{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = 2 \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

خطوة 4.6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

احذِف الأقواس.

$f (2) = 2 \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

خطوة 4.6.2.2

أضف $4$ و $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{6 (4 - (2))}$

خطوة 4.6.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{6 (4 - 2)}$

خطوة 4.6.2.4

اطرح $2$ من $4$ .

$f (2) = 2 \sqrt{6 \cdot 2}$

خطوة 4.6.2.5

اضرب $6$ في $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{12}$

خطوة 4.6.2.6

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.6.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$f (2) = 2 \sqrt{4 (3)}$

خطوة 4.6.2.6.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (2) = 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

خطوة 4.6.2.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (2) = 2 (2 \sqrt{3})$

خطوة 4.6.2.8

اضرب $2$ في $2$ .

$f (2) = 4 \sqrt{3}$

خطوة 4.6.2.9

الإجابة النهائية هي $4 \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3}$

خطوة 4.7

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3$ في $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(3, 3 \sqrt{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = 3 \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

خطوة 4.7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

احذِف الأقواس.

$f (3) = 3 \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

خطوة 4.7.2.2

أضف $4$ و $3$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7 (4 - (3))}$

خطوة 4.7.2.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7 (4 - 3)}$

خطوة 4.7.2.4

اطرح $3$ من $4$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7 \cdot 1}$

خطوة 4.7.2.5

اضرب $7$ في $1$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7}$

خطوة 4.7.2.6

الإجابة النهائية هي $3 \sqrt{7}$ .

$y = 3 \sqrt{7}$

خطوة 4.8

يمكن تمثيل الجذر التربيعي بيانيًا باستخدام النقاط الواقعة حول الرأس $(- 4, 0), (4, 0), (- 3, - 7.94), (- 2, - 6.93), (- 1, - 3.87), (0, 0), (1, 3.87), (2, 6.93), (3, 7.94)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - 7.94 \\ - 2 & - 6.93 \\ - 1 & - 3.87 \\ 0 & 0 \\ 1 & 3.87 \\ 2 & 6.93 \\ 3 & 7.94 \\ 4 & 0 \end{array}$

خطوة 5