حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{8}$ و $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{7}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{7}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$f' (x) = x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

خطوة 1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

خطوة 1.1.3.4.2

اضرب $7$ في $1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

خطوة 1.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

خطوة 1.1.3.6

انقُل $8$ إلى يسار ${(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot ({(x - 1)}^{7} x^{7})$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أخرِج العامل $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ من $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.1

أخرِج العامل $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ من $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

خطوة 1.1.4.1.2

أخرِج العامل $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ من $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

خطوة 1.1.4.1.3

أخرِج العامل $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ من $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

خطوة 1.1.4.2

انقُل $7$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$

خطوة 2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{7} = 0$

${(x - 1)}^{6} = 0$

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

خطوة 2.3

عيّن قيمة العبارة $x^{7}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عيّن قيمة $x^{7}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{7} = 0$

خطوة 2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{7} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{0}$

خطوة 2.3.2.2

بسّط $\sqrt[7]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{7}$ .

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

خطوة 2.3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة ${(x - 1)}^{6}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة ${(x - 1)}^{6}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 1)}^{6} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 1)}^{6} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.4.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $7 x + 8 (x - 1)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $7 x + 8 (x - 1)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $7 x + 8 (x - 1) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

بسّط $7 x + 8 (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$7 x + 8 x + 8 \cdot - 1 = 0$

خطوة 2.5.2.1.1.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$7 x + 8 x - 8 = 0$

خطوة 2.5.2.1.2

أضف $7 x$ و $8 x$ .

$15 x - 8 = 0$

خطوة 2.5.2.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$15 x = 8$

خطوة 2.5.2.3

اقسِم كل حد في $15 x = 8$ على $15$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

اقسِم كل حد في $15 x = 8$ على $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

خطوة 2.5.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

خطوة 2.5.2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{8}{15}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 1, \frac{8}{15}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $x^{8} {(x - 1)}^{7}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

${(0)}^{8} {((0) - 1)}^{7}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 {((0) - 1)}^{7}$

خطوة 4.1.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$0 {(- 1)}^{7}$

خطوة 4.1.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $7$ .

$0 \cdot - 1$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

${(1)}^{8} {((1) - 1)}^{7}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 {((1) - 1)}^{7}$

خطوة 4.2.2.2

اضرب ${((1) - 1)}^{7}$ في $1$ .

${((1) - 1)}^{7}$

خطوة 4.2.2.3

اطرح $1$ من $1$ .

$0^{7}$

خطوة 4.2.2.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = \frac{8}{15}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{8}{15}$ .

${(\frac{8}{15})}^{8} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8^{8}}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

خطوة 4.3.2.2

ارفع $8$ إلى القوة $8$ .

$\frac{16777216}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

خطوة 4.3.2.3

ارفع $15$ إلى القوة $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

خطوة 4.3.2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}^{7}$

خطوة 4.3.2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

خطوة 4.3.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

خطوة 4.3.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.7.1

اضرب $- 1$ في $15$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 15}{15})}^{7}$

خطوة 4.3.2.7.2

اطرح $15$ من $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{- 7}{15})}^{7}$

خطوة 4.3.2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{16777216}{2562890625} {(- \frac{7}{15})}^{7}$

خطوة 4.3.2.9

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.9.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} {(\frac{7}{15})}^{7})$

خطوة 4.3.2.9.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} \frac{7^{7}}{15^{7}})$

خطوة 4.3.2.10

ارفع $- 1$ إلى القوة $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{7^{7}}{15^{7}})$

خطوة 4.3.2.11

ارفع $7$ إلى القوة $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{15^{7}})$

خطوة 4.3.2.12

ارفع $15$ إلى القوة $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$

خطوة 4.3.2.13

اضرب $\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.13.1

اضرب $\frac{16777216}{2562890625}$ في $\frac{823543}{170859375}$ .

$- \frac{16777216 \cdot 823543}{2562890625 \cdot 170859375}$

خطوة 4.3.2.13.2

اضرب $16777216$ في $823543$ .

$- \frac{13816758796288}{2562890625 \cdot 170859375}$

خطوة 4.3.2.13.3

اضرب $2562890625$ في $170859375$ .

$- \frac{13816758796288}{437893890380859375}$

خطوة 4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{8}{15}, - \frac{13816758796288}{437893890380859375})$

خطوة 5