حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

خطوة 1.1.2.4

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

خطوة 1.1.2.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

خطوة 1.1.2.6.1.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

خطوة 1.1.2.6.2

اطرح $8$ من $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

خطوة 1.1.2.6.3

أضف $- 4$ و $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الأُس $4$ من $x^{4}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

خطوة 1.1.3.4

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

خطوة 1.1.3.5

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{0}{2^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{0}{2^{4} - 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.7.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{0}{16 - 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.7.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{0}{16 - 3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.7.1.3

اضرب $- 3$ في $4$ .

$\frac{0}{16 - 12 - 1 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.7.1.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{0}{16 - 12 - 4}$

خطوة 1.1.3.7.2

اطرح $12$ من $16$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

خطوة 1.1.3.7.3

اطرح $4$ من $4$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.7.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.8

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{4} - 3 x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

خطوة 1.3.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

خطوة 1.3.6

أضف $2 x - 4$ و $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

خطوة 1.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 3 x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

خطوة 1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

خطوة 1.3.9

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

خطوة 1.3.9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

خطوة 1.3.9.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

خطوة 1.3.10

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 6 x + 0}$

خطوة 1.3.11

أضف $4 x^{3} - 6 x$ و $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 6 x}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - 6 x}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - 6 x}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - 6 x}$

خطوة 2.4

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - 6 x}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - lim_{x \to 2} 6 x}$

خطوة 2.6

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{4 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 6 x}$

خطوة 2.7

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 6 x}$

خطوة 2.8

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 6 lim_{x \to 2} x}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 6 lim_{x \to 2} x}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2^{3} - 6 lim_{x \to 2} x}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $2$ .

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احذِف العامل المشترك لـ $2 \cdot 2 - 1 \cdot 4$ و $4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $2 \cdot 2$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 2) - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 \cdot 4$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 2) - 1 (4)}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (- 2 \cdot 2) - 1 (4)$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 2 + 4)}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

خطوة 4.1.4

أعِد كتابة $- (- 2 \cdot 2 + 4)$ بالصيغة $- 1 (- 2 \cdot 2 + 4)$ .

$\frac{- 1 (- 2 \cdot 2 + 4)}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

خطوة 4.1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 1 (4 - 2 \cdot 2)}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

خطوة 4.1.6

أخرِج العامل $2$ من $- 1 (4 - 2 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

خطوة 4.1.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

أخرِج العامل $2$ من $4 \cdot 2^{3}$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{2 (2 \cdot 2^{3}) - 6 \cdot 2}$

خطوة 4.1.7.2

أخرِج العامل $2$ من $- 6 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (- 3 \cdot 2)}$

خطوة 4.1.7.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (- 3 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{2 (2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2)}$

خطوة 4.1.7.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{2 (2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2)}$

خطوة 4.1.7.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1 (2 - 1 \cdot 2)}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $2 - 1 \cdot 2$ و $2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- 2) - 1 \cdot 2)}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

خطوة 4.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- 2) - 1 (2))}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

خطوة 4.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- 2) - 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- 2 + 2))}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

خطوة 4.2.4

أخرِج العامل $2$ من $- 1 (- 1 (- 2 + 2))$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

خطوة 4.2.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 2^{3}$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 (2^{3}) - 3 \cdot 2}$

خطوة 4.2.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 3 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 (2^{3}) + 2 \cdot - 3}$

خطوة 4.2.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2^{3}) + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 (2^{3} - 3)}$

خطوة 4.2.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 (2^{3} - 3)}$

خطوة 4.2.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1 (- 1 (- 1 + 1))}{2^{3} - 3}$

خطوة 4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1 (- 1 + 1)}{2^{3} - 3}$

خطوة 4.3.2

اضرب $- 1 + 1$ في $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{2^{3} - 3}$

خطوة 4.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{- 1 + 1}{8 - 3}$

خطوة 4.4.2

اطرح $3$ من $8$ .

$\frac{- 1 + 1}{5}$

خطوة 4.5

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{0}{5}$

خطوة 4.6

اقسِم $0$ على $5$ .

$0$