حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 5 x^{3} - 3 x$ , $(1, 2)$

خطوة 1

اكتب $y = 5 x^{3} - 3 x$ في صورة دالة.

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت النقطة المُعطاة موجودة على الرسم البياني للدالة المُعطاة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$ عند $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 5 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 3 \cdot 1$

خطوة 2.1.2.1.2

اضرب $5$ في $1$ .

$f (1) = 5 - 3 \cdot 1$

خطوة 2.1.2.1.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f (1) = 5 - 3$

خطوة 2.1.2.2

اطرح $3$ من $5$ .

$f (1) = 2$

خطوة 2.1.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 2.2

بما أن $2 = 2$ ، إذن النقطة موجودة على الرسم البياني.

النقطة موجودة على الرسم البياني

خطوة 3

ميل خط المماس هو مشتق العبارة.

$m$ $=$ مشتق $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

خطوة 4

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 5

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.3.1

اضرب $3$ في $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.3.2

اضرب $3$ في $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.4

احذِف الأقواس.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

خطوة 5.1.2.2

الإجابة النهائية هي $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

خطوة 5.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

خطوة 5.2.2

انقُل $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

خطوة 5.2.3

انقُل $- 3 x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 h - 3 x$

خطوة 5.2.4

انقُل $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

خطوة 5.2.5

انقُل $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

خطوة 5.2.6

أعِد ترتيب $15 h^{2} x$ و $5 h^{3}$ .

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

خطوة 5.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

خطوة 6

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3} - 3 x)}{h}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3}) - (- 3 x)}{h}$

خطوة 7.1.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} - (- 3 x)}{h}$

خطوة 7.1.3

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} + 3 x}{h}$

خطوة 7.1.4

اطرح $5 x^{3}$ من $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 0 + 3 x}{h}$

خطوة 7.1.5

أضف $5 h^{3}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 3 x}{h}$

خطوة 7.1.6

أضف $- 3 x$ و $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h + 0}{h}$

خطوة 7.1.7

أضف $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

خطوة 7.1.8

أخرِج العامل $h$ من $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.8.1

أخرِج العامل $h$ من $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

خطوة 7.1.8.2

أخرِج العامل $h$ من $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

خطوة 7.1.8.3

أخرِج العامل $h$ من $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) - 3 h}{h}$

خطوة 7.1.8.4

أخرِج العامل $h$ من $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

خطوة 7.1.8.5

أخرِج العامل $h$ من $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

خطوة 7.1.8.6

أخرِج العامل $h$ من $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

خطوة 7.1.8.7

أخرِج العامل $h$ من $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

خطوة 7.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$

خطوة 7.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

انقُل $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} - 3$

خطوة 7.2.2.2

انقُل $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} - 3$

خطوة 7.2.2.3

أعِد ترتيب $15 x h$ و $15 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} - 3$

خطوة 8

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

خطوة 9

احسِب قيمة حد $15 x^{2}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

خطوة 10

انقُل الحد $15 x$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

خطوة 11

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

خطوة 12

انقُل الأُس $2$ من $h^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3$

خطوة 13

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

خطوة 14

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

خطوة 14.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

خطوة 15

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اضرب $15 x \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1.1

اضرب $0$ في $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

خطوة 15.1.1.2

اضرب $0$ في $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

خطوة 15.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

خطوة 15.1.3

اضرب $5$ في $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 3$

خطوة 15.1.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 3$

خطوة 15.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $15 x^{2} + 0 + 0 - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

أضف $15 x^{2}$ و $0$ .

$15 x^{2} + 0 - 3$

خطوة 15.2.2

أضف $15 x^{2}$ و $0$ .

$15 x^{2} - 3$

خطوة 16

أوجِد الميل $m$ . في هذه الحالة $m = 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

احذِف الأقواس.

$m = 15 \cdot 1^{2} - 3$

خطوة 16.2

بسّط $15 \cdot 1^{2} - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$m = 15 \cdot 1 - 3$

خطوة 16.2.1.2

اضرب $15$ في $1$ .

$m = 15 - 3$

خطوة 16.2.2

اطرح $3$ من $15$ .

$m = 12$

خطوة 17

الميل هو $m = 12$ والنقطة هي $(1, 2)$ .

$m = 12, (1, 2)$

خطوة 18

أوجِد قيمة $b$ باستخدام قاعدة معادلة الخط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استخدِم قاعدة معادلة الخط المستقيم لإيجاد $b$ .

$y = m x + b$

خطوة 18.2

عوّض بقيمة $m$ في المعادلة.

$y = (12) \cdot x + b$

خطوة 18.3

عوّض بقيمة $x$ في المعادلة.

$y = (12) \cdot (1) + b$

خطوة 18.4

عوّض بقيمة $y$ في المعادلة.

$2 = (12) \cdot (1) + b$

خطوة 18.5

أوجِد قيمة $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $(12) \cdot (1) + b = 2$ .

$(12) \cdot (1) + b = 2$

خطوة 18.5.2

اضرب $12$ في $1$ .

$12 + b = 2$

خطوة 18.5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $b$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.5.3.1

اطرح $12$ من كلا المتعادلين.

$b = 2 - 12$

خطوة 18.5.3.2

اطرح $12$ من $2$ .

$b = - 10$

خطوة 19

بما أن قيم $m$ (الميل) و $b$ (نقطة التقاطع مع المحور الصادي) أصبحت معروفة الآن، فعوّض بها في $y = m x + b$ لإيجاد معادلة الخط المستقيم.

$y = 12 x - 10$

خطوة 20