حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x - 1$ و $g (x) = x^{2} - 8 x + 7$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 7] + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 8 x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.2.3

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 8$ في $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.2.6

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.2.7

أضف $2 x - 8$ و $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 1.2.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + 0)$

خطوة 1.2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \cdot 1$

خطوة 1.2.11.2

اضرب $x^{2} - 8 x + 7$ في $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 7$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

خطوة 1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

خطوة 1.3.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

خطوة 1.3.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

خطوة 1.3.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

خطوة 1.3.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

خطوة 1.3.4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

خطوة 1.3.4.6

انقُل $- 8$ إلى يسار $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 \cdot x - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

خطوة 1.3.4.7

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

خطوة 1.3.4.8

اطرح $8 x$ من $- 2 x$ .

$2 x^{2} - 10 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

خطوة 1.3.4.9

أضف $2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 8 - 8 x + 7$

خطوة 1.3.4.10

اطرح $8 x$ من $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 18 x + 8 + 7$

خطوة 1.3.4.11

أضف $8$ و $7$ .

$3 x^{2} - 18 x + 15$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} - 18 x + 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 15 = 0$

خطوة 2.1.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 15 = 0$

خطوة 2.1.1.3

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

خطوة 2.1.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

خطوة 2.1.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

خطوة 2.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

حلّل $x^{2} - 6 x + 5$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $5$ ومجموعهما $- 6$ .

$- 5, - 1$

خطوة 2.1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$3 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

خطوة 2.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 (x - 5) (x - 1) = 0$

خطوة 2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 2.3.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 (x - 5) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 5, 1$

خطوة 3

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ عند $x = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f (5) = ((5) - 1) ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $1$ من $5$ .

$f (5) = 4 ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

خطوة 3.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f (5) = 4 (25 - 8 \cdot 5 + 7)$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $- 8$ في $5$ .

$f (5) = 4 (25 - 40 + 7)$

خطوة 3.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اطرح $40$ من $25$ .

$f (5) = 4 (- 15 + 7)$

خطوة 3.2.3.2

أضف $- 15$ و $7$ .

$f (5) = 4 \cdot - 8$

خطوة 3.2.3.3

اضرب $4$ في $- 8$ .

$f (5) = - 32$

خطوة 3.2.4

الإجابة النهائية هي $- 32$ .

$- 32$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ عند $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = ((1) - 1) ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (1) = 0 ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

خطوة 4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 0 (1 - 8 \cdot 1 + 7)$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $- 8$ في $1$ .

$f (1) = 0 (1 - 8 + 7)$

خطوة 4.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $8$ من $1$ .

$f (1) = 0 (- 7 + 7)$

خطوة 4.2.3.2

أضف $- 7$ و $7$ .

$f (1) = 0 \cdot 0$

خطوة 4.2.3.3

اضرب $0$ في $0$ .

$f (1) = 0$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 5

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ هي $y = - 32, y = 0$ .

$y = - 32, y = 0$

خطوة 6