حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$

خطوة 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $4 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اقسِم كل حد في $9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$ على $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

خطوة 1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

خطوة 1.2.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

خطوة 1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

اقسِم $36$ على $9$ .

$y^{2} = 4 + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

خطوة 1.2.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = 4 - \frac{4 x^{2}}{9}$

خطوة 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{4 x^{2}}{9}}$

خطوة 1.4

بسّط $\pm \sqrt{4 - \frac{4 x^{2}}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{4 x^{2}}{9}}$

خطوة 1.4.1.2

أعِد كتابة $\frac{4 x^{2}}{9}$ بالصيغة ${(\frac{2 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{2 x}{3})}^{2}}$

خطوة 1.4.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2$ و $b = \frac{2 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

خطوة 1.4.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

خطوة 1.4.4

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

خطوة 1.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 x}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

خطوة 1.4.6

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 3 + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3) + 2 x}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

خطوة 1.4.6.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3) + 2 (x)}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

خطوة 1.4.6.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (3) + 2 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

خطوة 1.4.7

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x}{3})}$

خطوة 1.4.8

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2 x}{3})}$

خطوة 1.4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 \cdot 3 - 2 x}{3}}$

خطوة 1.4.10

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 3 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.10.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3) - 2 x}{3}}$

خطوة 1.4.10.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3) + 2 (- x)}{3}}$

خطوة 1.4.10.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (3) + 2 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3 - x)}{3}}$

خطوة 1.4.11

اضرب $\frac{2 (3 + x)}{3}$ في $\frac{2 (3 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x) (2 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

خطوة 1.4.12

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.12.1

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

خطوة 1.4.12.2

اضرب $3$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

خطوة 1.4.13

أعِد كتابة $\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{9}$ بالصيغة ${(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.13.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4 (3 + x) (3 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

خطوة 1.4.13.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

خطوة 1.4.13.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

خطوة 1.4.14

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{2}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

خطوة 1.4.15

اجمع $\frac{2}{3}$ و $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

خطوة 1.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

خطوة 1.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

خطوة 1.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

خطوة 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

خطوة 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} + 9 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

خطوة 3.2.2.3

اضرب $2$ في $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

خطوة 3.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$8 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$8 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$8 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$8 x + 9 (2 y y')$

خطوة 3.2.3.4

اضرب $2$ في $9$ .

$8 x + 18 y y'$

خطوة 3.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$18 y y' + 8 x$

خطوة 3.3

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$18 y y' + 8 x = 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اطرح $8 x$ من كلا المتعادلين.

$18 y y' = - 8 x$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $18 y y' = - 8 x$ على $18 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $18 y y' = - 8 x$ على $18 y$ .

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

خطوة 3.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

خطوة 3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

خطوة 3.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{18 y}$

خطوة 3.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 8 x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{18 y}$

خطوة 3.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $18 y$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 4 x}{9 y}$

خطوة 3.5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 x}{9 y}$

خطوة 3.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{4 x}{9 y} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 x = 0$

خطوة 4.2

اقسِم كل حد في $4 x = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = 0$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 4.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x = 0$

خطوة 5

Solve the function $f (x) = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احذِف الأقواس.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

خطوة 5.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $3$ و $0$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 (3 - (0))}}{3}$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 (3 + 0)}}{3}$

خطوة 5.2.2.3

أضف $3$ و $0$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 3}}{3}$

خطوة 5.2.2.4

اضرب $3$ في $3$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{9}}{3}$

خطوة 5.2.2.5

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3^{2}}}{3}$

خطوة 5.2.2.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (0) = \frac{2 \cdot 3}{3}$

خطوة 5.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f (0) = \frac{6}{3}$

خطوة 5.2.3.2

اقسِم $6$ على $3$ .

$f (0) = 2$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 6

Solve the function $f (x) = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احذِف الأقواس.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

خطوة 6.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $3$ و $0$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 (3 - (0))}}{3}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 (3 + 0)}}{3}$

خطوة 6.2.2.3

أضف $3$ و $0$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 \cdot 3}}{3}$

خطوة 6.2.2.4

اضرب $3$ في $3$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{9}}{3}$

خطوة 6.2.2.5

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3^{2}}}{3}$

خطوة 6.2.2.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (0) = - \frac{2 \cdot 3}{3}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f (0) = - \frac{6}{3}$

خطوة 6.2.3.2

اقسِم $6$ على $3$ .

$f (0) = - 1 \cdot 2$

خطوة 6.2.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (0) = - 2$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

خطوة 8