حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x e^{- x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

خطوة 1.3.5

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

خطوة 2.1.2

اضرب في $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

خطوة 2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

خطوة 2.3

عيّن قيمة العبارة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عيّن قيمة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{- x} = 0$

خطوة 2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

خطوة 2.3.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.3.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{- x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $- x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $- x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x + 1 = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 1$

خطوة 2.4.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.4.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x = 1$

خطوة 2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{- x} (- x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 1$

خطوة 3

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x e^{- x}$ عند $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $e^{- (1)}$ في $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

خطوة 3.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

خطوة 3.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

خطوة 4

خط المماس الأفقي في الدالة $f (x) = x e^{- x}$ هو $y = \frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

خطوة 5