حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 6 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 \cdot 1$

خطوة 1.2.3

اضرب $- 6$ في $1$ .

$3 x^{2} - 6$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $3 x^{2} - 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x^{2} = 6$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 6$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 6$ على $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

خطوة 2.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{6}{3}$

خطوة 2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اقسِم $6$ على $3$ .

$x^{2} = 2$

خطوة 2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{2}$

خطوة 2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{2}$

خطوة 2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{2}$

خطوة 2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

خطوة 3

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x^{3} - 6 x$ عند $x = \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{2}$ في العبارة.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{3} - 6 \sqrt{2}$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{3}} - 6 \sqrt{2}$

خطوة 3.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{8} - 6 \sqrt{2}$

خطوة 3.2.1.3

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4 (2)} - 6 \sqrt{2}$

خطوة 3.2.1.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{2}$

خطوة 3.2.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}$

خطوة 3.2.2

اطرح $6 \sqrt{2}$ من $2 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2}$

خطوة 3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2}$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x^{3} - 6 x$ عند $x = - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt{2}$ في العبارة.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

خطوة 4.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

خطوة 4.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{3}} - 6 (- \sqrt{2})$

خطوة 4.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{8} - 6 (- \sqrt{2})$

خطوة 4.2.1.5

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4 (2)} - 6 (- \sqrt{2})$

خطوة 4.2.1.5.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 (- \sqrt{2})$

خطوة 4.2.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- \sqrt{2}) = - (2 \sqrt{2}) - 6 (- \sqrt{2})$

خطوة 4.2.1.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} - 6 (- \sqrt{2})$

خطوة 4.2.1.8

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$

خطوة 4.2.2

أضف $- 2 \sqrt{2}$ و $6 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2}$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2}$

خطوة 5

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = x^{3} - 6 x$ هي $y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$ .

$y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$

خطوة 6