حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + 4 y^{2} = 36$

خطوة 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$4 y^{2} = 36 - x^{2}$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $4 y^{2} = 36 - x^{2}$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اقسِم كل حد في $4 y^{2} = 36 - x^{2}$ على $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

خطوة 1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

خطوة 1.2.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

خطوة 1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

اقسِم $36$ على $4$ .

$y^{2} = 9 + \frac{- x^{2}}{4}$

خطوة 1.2.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = 9 - \frac{x^{2}}{4}$

خطوة 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 - \frac{x^{2}}{4}}$

خطوة 1.4

بسّط $\pm \sqrt{9 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

خطوة 1.4.1.2

أعِد كتابة $\frac{x^{2}}{4}$ بالصيغة ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

خطوة 1.4.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3$ و $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.4.3

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.4.4

اجمع $3$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 \cdot 2 + x}{2} (3 - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.4.6

اضرب $3$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (3 - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.4.7

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.4.8

اجمع $3$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

خطوة 1.4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 - x}{2}}$

خطوة 1.4.10

اضرب $3$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} \cdot \frac{6 - x}{2}}$

خطوة 1.4.11

اضرب $\frac{6 + x}{2}$ في $\frac{6 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(6 + x) (6 - x)}{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.4.12

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(6 + x) (6 - x)}{4}}$

خطوة 1.4.13

أعِد كتابة $\frac{(6 + x) (6 - x)}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} ((6 + x) (6 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.13.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(6 + x) (6 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{4}}$

خطوة 1.4.13.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

خطوة 1.4.13.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((6 + x) (6 - x))}$

خطوة 1.4.14

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(6 + x) (6 - x)}$

خطوة 1.4.15

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{(6 + x) (6 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

خطوة 1.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

خطوة 1.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

خطوة 1.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

خطوة 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

خطوة 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 4 y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 4 (2 y y')$

خطوة 3.2.2.4

اضرب $2$ في $4$ .

$2 x + 8 y y'$

خطوة 3.2.3

أعِد ترتيب الحدود.

$8 y y' + 2 x$

خطوة 3.3

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$8 y y' + 2 x = 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$8 y y' = - 2 x$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $8 y y' = - 2 x$ على $8 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $8 y y' = - 2 x$ على $8 y$ .

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

خطوة 3.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

خطوة 3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

خطوة 3.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{8 y}$

خطوة 3.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{8 y}$

خطوة 3.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- x}{4 y}$

خطوة 3.5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x}{4 y}$

خطوة 3.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

خطوة 4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x = 0$

خطوة 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احذِف الأقواس.

$f (0) = \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

خطوة 5.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $6$ و $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 (6 - (0))}}{2}$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 (6 + 0)}}{2}$

خطوة 5.2.2.3

أضف $6$ و $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 \cdot 6}}{2}$

خطوة 5.2.2.4

اضرب $6$ في $6$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{36}}{2}$

خطوة 5.2.2.5

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6^{2}}}{2}$

خطوة 5.2.2.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (0) = \frac{6}{2}$

خطوة 5.2.3

اقسِم $6$ على $2$ .

$f (0) = 3$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احذِف الأقواس.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

خطوة 6.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $6$ و $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 (6 - (0))}}{2}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 (6 + 0)}}{2}$

خطوة 6.2.2.3

أضف $6$ و $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 \cdot 6}}{2}$

خطوة 6.2.2.4

اضرب $6$ في $6$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{36}}{2}$

خطوة 6.2.2.5

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6^{2}}}{2}$

خطوة 6.2.2.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (0) = - \frac{6}{2}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اقسِم $6$ على $2$ .

$f (0) = - 1 \cdot 3$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f (0) = - 3$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 7

The horizontal tangent lines are $y = 3, y = - 3$

$y = 3, y = - 3$

خطوة 8