حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x + \cos (x)$

خطوة 1

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = x + \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $1 - \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \sin (x) = - 1$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.2.2.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

خطوة 3.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (1)$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 3.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{2}$

خطوة 3.6

بسّط $π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

خطوة 3.6.3.2

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 3.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.8

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x + \cos (x)$ عند $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

خطوة 4.2.2

أضف $\frac{π}{2}$ و $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x + \cos (x)$ عند $x = \frac{π}{2} + 2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2} + 2 π$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = (\frac{π}{2} + 2 π) + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اكتب $2 π$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $\frac{2 π}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} \cdot \frac{2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $\frac{2 π}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

خطوة 5.2.1.4

اكتب $\cos (\frac{π}{2} + 2 π)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$

خطوة 5.2.1.5

اضرب $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 5.2.1.6

اضرب $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 2 π \cdot 2 + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.3.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}) \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.3.3

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 4 π}{2}) \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.3.5.2

أضف $π$ و $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{5 π}{2}) \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.3.6

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2}) \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.3.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0 \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.3.8

اضرب $0$ في $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0}{2}$

خطوة 5.2.4

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أضف $π$ و $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π + 0}{2}$

خطوة 5.2.4.2

أضف $5 π$ و $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π}{2}$

خطوة 5.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{5 π}{2}$ .

$\frac{5 π}{2}$

خطوة 6

خط المماس الأفقي في الدالة $f (x) = x + \cos (x)$ هو $y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$

خطوة 7