حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 5 x - x^{2}$

خطوة 1

أعِد ترتيب $5 x$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 5 x$

خطوة 2

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = - x^{2} + 5 x$

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} + 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 3.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 x + 5 \cdot 1$

خطوة 3.3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$- 2 x + 5$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 2 x + 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x = - 5$

خطوة 4.2

اقسِم كل حد في $- 2 x = - 5$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 x = - 5$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

خطوة 4.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x = \frac{5}{2}$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = - x^{2} + 5 x$ عند $x = \frac{5}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{5}{2}) = - {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (\frac{5}{2})$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{5}{2})$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2^{2}} + 5 (\frac{5}{2})$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + 5 (\frac{5}{2})$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $5 (\frac{5}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.4.1

اجمع $5$ و $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{5 \cdot 5}{2}$

خطوة 5.2.1.4.2

اضرب $5$ في $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2}$

خطوة 5.2.2

لكتابة $\frac{25}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 5.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $\frac{25}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 2}{4}$

خطوة 5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2}{4}$

خطوة 5.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

اضرب $25$ في $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 50}{4}$

خطوة 5.2.5.2

أضف $- 25$ و $50$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4}$

خطوة 5.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{25}{4}$ .

$\frac{25}{4}$

خطوة 6

خط المماس الأفقي في الدالة $f (x) = - x^{2} + 5 x$ هو $y = \frac{25}{4}$ .

$y = \frac{25}{4}$

خطوة 7