حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

خطوة 1

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

خطوة 2

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 14$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 14 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $- 14$ .

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [9 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $9$ في $1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ ومجموعهما $b = - 28$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

أخرِج العامل $- 28$ من $- 28 x$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$

خطوة 3.1.1.2

أعِد كتابة $- 28$ في صورة $- 1$ زائد $- 27$

$3 x^{2} + (- 1 - 27) x + 9 = 0$

خطوة 3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} - 1 x - 27 x + 9 = 0$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(3 x^{2} - 1 x) - 27 x + 9 = 0$

خطوة 3.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$x (3 x - 1) - 9 (3 x - 1) = 0$

خطوة 3.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 9) = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 9 = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة العبارة $3 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عيّن قيمة $3 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 1 = 0$

خطوة 3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 1$

خطوة 3.3.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 1$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 3.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 9 = 0$

خطوة 3.4.2

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 9$

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(3 x - 1) (x - 9) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{1}{3}, 9$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ عند $x = \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

خطوة 4.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

خطوة 4.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

خطوة 4.2.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

خطوة 4.2.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

خطوة 4.2.1.6

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 (\frac{1}{9}) + 9 (\frac{1}{3})$

خطوة 4.2.1.7

اجمع $- 14$ و $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

خطوة 4.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

خطوة 4.2.1.9

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.9.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 (3) (\frac{1}{3})$

خطوة 4.2.1.9.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 \cdot (3 (\frac{1}{3}))$

خطوة 4.2.1.9.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3$

خطوة 4.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $\frac{14}{9}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{14}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $\frac{14}{9}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 3$

خطوة 4.2.2.3

اكتب $3$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

خطوة 4.2.2.4

اضرب $\frac{3}{1}$ في $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

خطوة 4.2.2.5

اضرب $\frac{3}{1}$ في $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

خطوة 4.2.2.6

أعِد ترتيب عوامل $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

خطوة 4.2.2.7

اضرب $3$ في $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 14 \cdot 3 + 3 \cdot 27}{27}$

خطوة 4.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اضرب $- 14$ في $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 3 \cdot 27}{27}$

خطوة 4.2.4.2

اضرب $3$ في $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 81}{27}$

خطوة 4.2.5

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

اطرح $42$ من $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 41 + 81}{27}$

خطوة 4.2.5.2

أضف $- 41$ و $81$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

خطوة 4.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ عند $x = 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $9$ في العبارة.

$f (9) = {(9)}^{3} - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $9$ إلى القوة $3$ .

$f (9) = 729 - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$f (9) = 729 - 14 \cdot 81 + 9 (9)$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 14$ في $81$ .

$f (9) = 729 - 1134 + 9 (9)$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $9$ في $9$ .

$f (9) = 729 - 1134 + 81$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $1134$ من $729$ .

$f (9) = - 405 + 81$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 405$ و $81$ .

$f (9) = - 324$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 324$ .

$- 324$

خطوة 6

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ هي $y = \frac{40}{27}, y = - 324$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 324$

خطوة 7