حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x + \sin (x y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \sin (x y))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \sin (x y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$1 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$1 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 3.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y)$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

خطوة 3.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$ .

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + 1$

خطوة 5.2

اطرح $x y' \cos (x y)$ من كلا المتعادلين.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' - x y' \cos (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- x y' \cos (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ على $1 - x \cos (x y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ على $1 - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x \cos (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

خطوة 7

عيّن $\frac{d y}{d x} = 0$ ثم أوجِد قيمة $x$ بمعلومية $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$y \cos (x y) + 1 = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y \cos (x y) = - 1$

خطوة 7.2.2

اقسِم كل حد في $y \cos (x y) = - 1$ على $y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اقسِم كل حد في $y \cos (x y) = - 1$ على $y$ .

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

خطوة 7.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x y)$ على $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{y}$

خطوة 7.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (x y) = - \frac{1}{y}$

خطوة 7.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$

خطوة 7.2.4

اقسِم كل حد في $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ على $y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اقسِم كل حد في $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ على $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

خطوة 7.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

خطوة 7.2.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط $(\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) + \sin ((\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} y)$

خطوة 8.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$

خطوة 8.1.1.2

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ و $(- \frac{1}{y}, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arccos (- \frac{1}{y})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ . إذن، $\sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$ تساوي $\sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

خطوة 8.1.1.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

خطوة 8.1.1.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = - \frac{1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 - - \frac{1}{y})}$

خطوة 8.1.1.5

اضرب $- - \frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + 1 \frac{1}{y})}$

خطوة 8.1.1.5.2

اضرب $\frac{1}{y}$ في $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

خطوة 8.1.1.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(\frac{y}{y} - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

خطوة 8.1.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (1 + \frac{1}{y})}$

خطوة 8.1.1.8

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (\frac{y}{y} + \frac{1}{y})}$

خطوة 8.1.1.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} \cdot \frac{y + 1}{y}}$

خطوة 8.1.1.10

اضرب $\frac{y - 1}{y}$ في $\frac{y + 1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y \cdot y}}$

خطوة 8.1.1.11

اضرب $y$ في $y$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}}$

خطوة 8.1.1.12

أعِد كتابة $\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.12.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(y - 1) (y + 1)$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2}}}$

خطوة 8.1.1.12.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $y^{2}$ من $y^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

خطوة 8.1.1.12.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{{(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))}$

خطوة 8.1.1.13

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{1}{y} \sqrt{(y - 1) (y + 1)}$

خطوة 8.1.1.14

اجمع $\frac{1}{y}$ و $\sqrt{(y - 1) (y + 1)}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{\sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

خطوة 8.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y}) + \sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

خطوة 8.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$y \approx 1.94368519$

خطوة 9

Solve for $x$ when $y$ is $1.94368519$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احذِف الأقواس.

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$

خطوة 9.2

بسّط $\frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

اقسِم $1$ على $1.94368519$ .

$x = \frac{\arccos (- 1 \cdot 0.5144866)}{1.94368519}$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0.5144866$ .

$x = \frac{\arccos (- 0.5144866)}{1.94368519}$

خطوة 9.2.1.3

احسِب قيمة $\arccos (- 0.5144866)$ .

$x = \frac{2.11120515}{1.94368519}$

خطوة 9.2.2

اقسِم $2.11120515$ على $1.94368519$ .

$x = 1.08618677$

خطوة 10

أوجِد النقاط حيث $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(1.08618677, 1.94368519)$

خطوة 11