حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + x y = 10$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y) = \frac{d}{d x} (10)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1$

خطوة 2.2.4

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x + x y' + y$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب الحدود.

$x y' + 2 x + y$

خطوة 3

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x y' + 2 x + y = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$x y' + y = - 2 x$

خطوة 5.1.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x y' = - 2 x - y$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $x y' = - 2 x - y$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $x y' = - 2 x - y$ على $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

خطوة 5.2.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

خطوة 5.2.3.1.1.2

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$y' = - 2 + \frac{- y}{x}$

خطوة 5.2.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - 2 - \frac{y}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 - \frac{y}{x}$

خطوة 7

عيّن $\frac{d y}{d x} = 0$ ثم أوجِد قيمة $x$ بمعلومية $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$- \frac{y}{x} = 2$

خطوة 7.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x, 1$

خطوة 7.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x$

خطوة 7.3

اضرب كل حد في $- \frac{y}{x} = 2$ في $x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب كل حد في $- \frac{y}{x} = 2$ في $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 2 x$

خطوة 7.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y}{x}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

خطوة 7.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

خطوة 7.3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- y = 2 x$

خطوة 7.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 x = - y$ .

$2 x = - y$

خطوة 7.4.2

اقسِم كل حد في $2 x = - y$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - y$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

خطوة 7.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

خطوة 7.4.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

خطوة 7.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{y}{2}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

خطوة 8.1.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

خطوة 8.1.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

خطوة 8.1.1.3

اضرب $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

خطوة 8.1.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

خطوة 8.1.1.5

اضرب $(- \frac{y}{2}) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.5.1

اجمع $y$ و $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} = 10$

خطوة 8.1.1.5.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} = 10$

خطوة 8.1.1.5.3

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} = 10$

خطوة 8.1.1.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} = 10$

خطوة 8.1.1.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 10$

خطوة 8.1.2

لكتابة $- \frac{y^{2}}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} = 10$

خطوة 8.1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

اضرب $\frac{y^{2}}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} = 10$

خطوة 8.1.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

خطوة 8.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

خطوة 8.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.5.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} - y^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.5.1.1

اضرب في $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

خطوة 8.1.5.1.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- y^{2} \cdot 2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} = 10$

خطوة 8.1.5.1.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4} = 10$

خطوة 8.1.5.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{y^{2} (1 - 2)}{4} = 10$

خطوة 8.1.5.3

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot - 1}{4} = 10$

خطوة 8.1.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.6.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $y^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2}}{4} = 10$

خطوة 8.1.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{y^{2}}{4} = 10$

خطوة 8.2

اضرب كلا المتعادلين في $- 4$ .

$- 4 (- \frac{y^{2}}{4}) = - 4 \cdot 10$

خطوة 8.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

بسّط $- 4 (- \frac{y^{2}}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y^{2}}{4}$ إلى بسط الكسر.

$- 4 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

خطوة 8.3.1.1.1.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

خطوة 8.3.1.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

خطوة 8.3.1.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - y^{2} = - 4 \cdot 10$

خطوة 8.3.1.1.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 y^{2} = - 4 \cdot 10$

خطوة 8.3.1.1.2.2

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y^{2} = - 4 \cdot 10$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اضرب $- 4$ في $10$ .

$y^{2} = - 40$

خطوة 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 40}$

خطوة 8.5

بسّط $\pm \sqrt{- 40}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أعِد كتابة $- 40$ بالصيغة $- 1 (40)$ .

$y = \pm \sqrt{- 1 (40)}$

خطوة 8.5.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (40)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$

خطوة 8.5.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{40}$

خطوة 8.5.4

أعِد كتابة $40$ بالصيغة $2^{2} \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.4.1

أخرِج العامل $4$ من $40$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}$

خطوة 8.5.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

خطوة 8.5.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm i \cdot (2 \sqrt{10})$

خطوة 8.5.6

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$y = \pm 2 i \sqrt{10}$

خطوة 8.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = 2 i \sqrt{10}$

خطوة 8.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - 2 i \sqrt{10}$

خطوة 8.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = 2 i \sqrt{10}, - 2 i \sqrt{10}$

خطوة 9

Solve for $x$ when $y$ is $2 i \sqrt{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احذِف الأقواس.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

خطوة 9.2.2

اقسِم $i \sqrt{10}$ على $1$ .

$x = - (i \sqrt{10})$

$x = - i \sqrt{10}$

خطوة 10

بسّط $- \frac{- 2 i \sqrt{10}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 i \sqrt{10}$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2}$

خطوة 10.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 (1)}$

خطوة 10.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

خطوة 10.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = - \frac{- i \sqrt{10}}{1}$

خطوة 10.1.2.4

اقسِم $- i \sqrt{10}$ على $1$ .

$x = - (- i \sqrt{10})$

خطوة 10.2

اضرب $- (- i \sqrt{10})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x = 1 (i \sqrt{10})$

خطوة 10.2.2

اضرب $\sqrt{10}$ في $1$ .

$x = \sqrt{10} i$

خطوة 11

أوجِد النقاط حيث $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- i \sqrt{10}, 2 i \sqrt{10})$

$(\sqrt{10} i, - 2 i \sqrt{10})$

خطوة 12