حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 12 x$ , $(0, 4)$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 12 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

خطوة 1.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

خطوة 1.1.1.2.3

اضرب $- 12$ في $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $3 x^{2} - 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

خطوة 1.2.2

أضف $12$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x^{2} = 12$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 12$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 12$ على $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

اقسِم $12$ على $3$ .

$x^{2} = 4$

خطوة 1.2.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{4}$

خطوة 1.2.5

بسّط $\pm \sqrt{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

خطوة 1.2.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 2$

خطوة 1.2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2$

خطوة 1.2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2$

خطوة 1.2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2, - 2$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $x^{3} - 12 x$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

${(2)}^{3} - 12 \cdot 2$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8 - 12 \cdot 2$

خطوة 1.4.1.2.1.2

اضرب $- 12$ في $2$ .

$8 - 24$

خطوة 1.4.1.2.2

اطرح $24$ من $8$ .

$- 16$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ .

${(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$- 8 - 12 \cdot - 2$

خطوة 1.4.2.2.1.2

اضرب $- 12$ في $- 2$ .

$- 8 + 24$

خطوة 1.4.2.2.2

أضف $- 8$ و $24$ .

$16$

خطوة 1.4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(2, - 16), (- 2, 16)$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

$(2, - 16)$

خطوة 3

استخدِم اختبار المشتق الأول لتحديد النقاط التي يمكن أن تمثل نقاطًا قصوى أو دنيا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 3.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 4$ ، من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق الأول $3 x^{2} - 12$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 12$

خطوة 3.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 12$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $3$ في $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 12$

خطوة 3.2.2.2

اطرح $12$ من $48$ .

$f' (- 4) = 36$

خطوة 3.2.2.3

الإجابة النهائية هي $36$ .

$36$

خطوة 3.3

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- 2, 2)$ في المشتق الأول $3 x^{2} - 12$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$f' (0) = 0 - 12$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $12$ من $0$ .

$f' (0) = - 12$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$- 12$

خطوة 3.4

عوّض بأي عدد، مثل $4$ ، من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق الأول $3 x^{2} - 12$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12$

خطوة 3.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12$

خطوة 3.4.2.1.2

اضرب $3$ في $16$ .

$f' (4) = 48 - 12$

خطوة 3.4.2.2

اطرح $12$ من $48$ .

$f' (4) = 36$

خطوة 3.4.2.3

الإجابة النهائية هي $36$ .

$36$

خطوة 3.5

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = - 2$ ، إذن $x = - 2$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = - 2$ هي حد أقصى محلي

خطوة 3.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 2$ ، إذن $x = 2$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 2$ هي حد أدنى محلي

خطوة 3.7

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x^{3} - 12 x$ .

$x = - 2$ هي حد أقصى محلي

$x = 2$ هي حد أدنى محلي

$x = - 2$ هي حد أقصى محلي

$x = 2$ هي حد أدنى محلي

خطوة 4

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

لا توجد نقطة قصوى مطلقة

الحد الأدنى المطلق: $(2, - 16)$

خطوة 5