حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} - 50 x^{2} + 1$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 50 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 50 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 50 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 50 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 50 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 50$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 50 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 50 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 50 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 50 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $2$ في $- 50$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 100 x + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 100 x + 0$

خطوة 1.1.3.2

أضف $4 x^{3} - 100 x$ و $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 100 x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{3} - 100 x$ .

$4 x^{3} - 100 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $4 x^{3} - 100 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{3} - 100 x = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3} - 100 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 100 x = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $4 x$ من $- 100 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 25) = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x^{2}) + 4 x (- 25)$ .

$4 x (x^{2} - 25) = 0$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 5^{2}) = 0$

خطوة 2.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 5$ .

$4 x ((x + 5) (x - 5)) = 0$

خطوة 2.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$4 x (x + 5) (x - 5) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 5 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x = - 5$

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 2.6.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x (x + 5) (x - 5) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 5, 5$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, - 5, 5$ .

$0, - 5, 5$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 5)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} - 100 \cdot - 6$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 - 100 \cdot - 6$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $4$ في $- 216$ .

$f' (- 6) = - 864 - 100 \cdot - 6$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 100$ في $- 6$ .

$f' (- 6) = - 864 + 600$

خطوة 5.2.2

أضف $- 864$ و $600$ .

$f' (- 6) = - 264$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 264$ .

$- 264$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 6$ هو $- 264$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 5)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 5)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 5, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{5}{2}$ في العبارة.

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 100 (- \frac{5}{2})$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) - 100 (- \frac{5}{2})$

خطوة 6.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) - 100 (- \frac{5}{2})$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) - 100 (- \frac{5}{2})$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 (- \frac{125}{2^{3}}) - 100 (- \frac{5}{2})$

خطوة 6.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 (- \frac{125}{8}) - 100 (- \frac{5}{2})$

خطوة 6.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{125}{8}$ إلى بسط الكسر.

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 (\frac{- 125}{8}) - 100 (- \frac{5}{2})$

خطوة 6.2.1.5.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 (\frac{- 125}{4 (2)}) - 100 (- \frac{5}{2})$

خطوة 6.2.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 (\frac{- 125}{4 \cdot 2}) - 100 (- \frac{5}{2})$

خطوة 6.2.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 125}{2} - 100 (- \frac{5}{2})$

خطوة 6.2.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} - 100 (- \frac{5}{2})$

خطوة 6.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.7.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{5}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} - 100 (\frac{- 5}{2})$

خطوة 6.2.1.7.2

أخرِج العامل $2$ من $- 100$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} + 2 (- 50) (\frac{- 5}{2})$

خطوة 6.2.1.7.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} + 2 \cdot (- 50 (\frac{- 5}{2}))$

خطوة 6.2.1.7.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} - 50 \cdot - 5$

خطوة 6.2.1.8

اضرب $- 50$ في $- 5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} + 250$

خطوة 6.2.2

لكتابة $250$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} + 250 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.2.3

اجمع $250$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} + \frac{250 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 125 + 250 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

اضرب $250$ في $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 125 + 500}{2}$

خطوة 6.2.5.2

أضف $- 125$ و $500$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{375}{2}$

خطوة 6.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{375}{2}$ .

$\frac{375}{2}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - \frac{5}{2}$ هو $\frac{375}{2}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 5, 0)$ .

تزايد خلال $(- 5, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 5)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 {(\frac{5}{2})}^{3} - 100 (\frac{5}{2})$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{5^{3}}{2^{3}}) - 100 (\frac{5}{2})$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{2^{3}}) - 100 (\frac{5}{2})$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{8}) - 100 (\frac{5}{2})$

خطوة 7.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 (2)}) - 100 (\frac{5}{2})$

خطوة 7.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 \cdot 2}) - 100 (\frac{5}{2})$

خطوة 7.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 100 (\frac{5}{2})$

خطوة 7.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 100$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 2 (- 50) (\frac{5}{2})$

خطوة 7.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 2 \cdot (- 50 (\frac{5}{2}))$

خطوة 7.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 50 \cdot 5$

خطوة 7.2.1.6

اضرب $- 50$ في $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 250$

خطوة 7.2.2

لكتابة $- 250$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 250 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 7.2.3

اجمع $- 250$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 250 \cdot 2}{2}$

خطوة 7.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 250 \cdot 2}{2}$

خطوة 7.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

اضرب $- 250$ في $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 500}{2}$

خطوة 7.2.5.2

اطرح $500$ من $125$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 375}{2}$

خطوة 7.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{375}{2}$

خطوة 7.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{375}{2}$ .

$- \frac{375}{2}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = \frac{5}{2}$ هو $- \frac{375}{2}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 5)$ .

تناقص خلال $(0, 5)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(5, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 100 \cdot 6$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 100 \cdot 6$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $4$ في $216$ .

$f' (6) = 864 - 100 \cdot 6$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $- 100$ في $6$ .

$f' (6) = 864 - 600$

خطوة 8.2.2

اطرح $600$ من $864$ .

$f' (6) = 264$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $264$ .

$264$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 6$ هو $264$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(5, \infty)$ .

تزايد خلال $(5, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 5, 0), (5, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 5), (0, 5)$

خطوة 10