حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} - 36 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} - 15 x^{2} - 36 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 15 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 15$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 36 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 36 \frac{d}{d x} x$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 36 \cdot 1$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $- 36$ في $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 36$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x^{2} - 30 x - 36$ .

$6 x^{2} - 30 x - 36$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $6 x^{2} - 30 x - 36 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x^{2} - 30 x - 36 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{2} - 30 x - 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 30 x - 36 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $6$ من $- 30 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 5 x) - 36 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $6$ من $- 36$ .

$6 x^{2} + 6 (- 5 x) + 6 \cdot - 6 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{2} + 6 (- 5 x)$ .

$6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot - 6 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $6$ من $6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot - 6$ .

$6 (x^{2} - 5 x - 6) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{2} - 5 x - 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 6$ ومجموعهما $- 5$ .

$- 6, 1$

خطوة 2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$6 ((x - 6) (x + 1)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$6 (x - 6) (x + 1) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 (x - 6) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 6, - 1$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $6, - 1$ .

$6, - 1$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{2} - 30 \cdot - 2 - 36$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot 4 - 30 \cdot - 2 - 36$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $6$ في $4$ .

$f' (- 2) = 24 - 30 \cdot - 2 - 36$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 30$ في $- 2$ .

$f' (- 2) = 24 + 60 - 36$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $24$ و $60$ .

$f' (- 2) = 84 - 36$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $36$ من $84$ .

$f' (- 2) = 48$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $48$ .

$48$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 2$ هو $48$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 1)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 6)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = 6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

خطوة 6.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 2 (3) (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

خطوة 6.2.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

خطوة 6.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

خطوة 6.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = 3 (\frac{25}{2}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

خطوة 6.2.1.5

اجمع $3$ و $\frac{25}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3 \cdot 25}{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $3$ في $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

خطوة 6.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 30$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 (- 15) (\frac{5}{2}) - 36$

خطوة 6.2.1.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 \cdot (- 15 (\frac{5}{2})) - 36$

خطوة 6.2.1.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 15 \cdot 5 - 36$

خطوة 6.2.1.8

اضرب $- 15$ في $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 75 - 36$

خطوة 6.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اكتب $- 75$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} - 36$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $\frac{- 75}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} \cdot \frac{2}{2} - 36$

خطوة 6.2.2.3

اضرب $\frac{- 75}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} - 36$

خطوة 6.2.2.4

اكتب $- 36$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 36}{1}$

خطوة 6.2.2.5

اضرب $\frac{- 36}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 36}{1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.2.2.6

اضرب $\frac{- 36}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 75 \cdot 2 - 36 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اضرب $- 75$ في $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 - 36 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.4.2

اضرب $- 36$ في $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 - 72}{2}$

خطوة 6.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

اطرح $150$ من $75$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 75 - 72}{2}$

خطوة 6.2.5.2

اطرح $72$ من $- 75$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 147}{2}$

خطوة 6.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{147}{2}$

خطوة 6.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{147}{2}$ .

$- \frac{147}{2}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{5}{2}$ هو $- \frac{147}{2}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 1, 6)$ .

تناقص خلال $(- 1, 6)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f' (7) = 6 {(7)}^{2} - 30 \cdot 7 - 36$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f' (7) = 6 \cdot 49 - 30 \cdot 7 - 36$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $6$ في $49$ .

$f' (7) = 294 - 30 \cdot 7 - 36$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 30$ في $7$ .

$f' (7) = 294 - 210 - 36$

خطوة 7.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $210$ من $294$ .

$f' (7) = 84 - 36$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $36$ من $84$ .

$f' (7) = 48$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $48$ .

$48$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 7$ هو $48$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(6, \infty)$ .

تزايد خلال $(6, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 1), (6, \infty)$

تناقص خلال: $(- 1, 6)$

خطوة 9