حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} - 21 x^{2} - 48 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} - 21 x^{2} - 48 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 21$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 21 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 21 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 21$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 48 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x - 48 \frac{d}{d x} x$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x - 48 \cdot 1$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $- 48$ في $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x - 48$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x^{2} - 42 x - 48$ .

$6 x^{2} - 42 x - 48$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $6 x^{2} - 42 x - 48 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x^{2} - 42 x - 48 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{2} - 42 x - 48$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 42 x - 48 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $6$ من $- 42 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 7 x) - 48 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $6$ من $- 48$ .

$6 x^{2} + 6 (- 7 x) + 6 \cdot - 8 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{2} + 6 (- 7 x)$ .

$6 (x^{2} - 7 x) + 6 \cdot - 8 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $6$ من $6 (x^{2} - 7 x) + 6 \cdot - 8$ .

$6 (x^{2} - 7 x - 8) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{2} - 7 x - 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 8$ ومجموعهما $- 7$ .

$- 8, 1$

خطوة 2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$6 ((x - 8) (x + 1)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$6 (x - 8) (x + 1) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 8 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 8$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 (x - 8) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 8, - 1$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $8, - 1$ .

$8, - 1$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 8) \cup (8, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{2} - 42 \cdot - 2 - 48$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot 4 - 42 \cdot - 2 - 48$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $6$ في $4$ .

$f' (- 2) = 24 - 42 \cdot - 2 - 48$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 42$ في $- 2$ .

$f' (- 2) = 24 + 84 - 48$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $24$ و $84$ .

$f' (- 2) = 108 - 48$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $48$ من $108$ .

$f' (- 2) = 60$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $60$ .

$60$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 2$ هو $60$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 1)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 8)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{7}{2}) = 6 {(\frac{7}{2})}^{2} - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 6 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 6 (\frac{49}{2^{2}}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 6 (\frac{49}{4}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

خطوة 6.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 2 (3) (\frac{49}{4}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

خطوة 6.2.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{49}{2 \cdot 2})) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

خطوة 6.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{7}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{49}{2 \cdot 2})) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

خطوة 6.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{7}{2}) = 3 (\frac{49}{2}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

خطوة 6.2.1.5

اجمع $3$ و $\frac{49}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{3 \cdot 49}{2} - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $3$ في $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

خطوة 6.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 42$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + 2 (- 21) (\frac{7}{2}) - 48$

خطوة 6.2.1.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + 2 \cdot (- 21 (\frac{7}{2})) - 48$

خطوة 6.2.1.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} - 21 \cdot 7 - 48$

خطوة 6.2.1.8

اضرب $- 21$ في $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} - 147 - 48$

خطوة 6.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اكتب $- 147$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147}{1} - 48$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $\frac{- 147}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147}{1} \cdot \frac{2}{2} - 48$

خطوة 6.2.2.3

اضرب $\frac{- 147}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} - 48$

خطوة 6.2.2.4

اكتب $- 48$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} + \frac{- 48}{1}$

خطوة 6.2.2.5

اضرب $\frac{- 48}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} + \frac{- 48}{1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.2.2.6

اضرب $\frac{- 48}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} + \frac{- 48 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147 - 147 \cdot 2 - 48 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اضرب $- 147$ في $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147 - 294 - 48 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.4.2

اضرب $- 48$ في $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147 - 294 - 96}{2}$

خطوة 6.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

اطرح $294$ من $147$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 147 - 96}{2}$

خطوة 6.2.5.2

اطرح $96$ من $- 147$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 243}{2}$

خطوة 6.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{243}{2}$

خطوة 6.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{243}{2}$ .

$- \frac{243}{2}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{7}{2}$ هو $- \frac{243}{2}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 1, 8)$ .

تناقص خلال $(- 1, 8)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(8, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $9$ في العبارة.

$f' (9) = 6 {(9)}^{2} - 42 \cdot 9 - 48$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$f' (9) = 6 \cdot 81 - 42 \cdot 9 - 48$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $6$ في $81$ .

$f' (9) = 486 - 42 \cdot 9 - 48$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 42$ في $9$ .

$f' (9) = 486 - 378 - 48$

خطوة 7.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $378$ من $486$ .

$f' (9) = 108 - 48$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $48$ من $108$ .

$f' (9) = 60$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $60$ .

$60$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 9$ هو $60$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(8, \infty)$ .

تزايد خلال $(8, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 1), (8, \infty)$

تناقص خلال: $(- 1, 8)$

خطوة 9