حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x \sqrt{x + 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 2}$ في صورة ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 2$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.8.3

انقُل ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.11

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.12.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.12.2

اضرب $\frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

خطوة 1.1.14

اضرب ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.1.15

لكتابة ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.16

اجمع ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.18

اضرب ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.18.1

انقُل ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.18.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.18.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.18.4

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.18.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.19

بسّط ${(x + 2)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.20

انقُل $2$ إلى يسار $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 2)}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.21.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.21.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.21.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.21.2.2

أضف $x$ و $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$3 x + 4 = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$3 x = - 4$

خطوة 2.3.2

اقسِم كل حد في $3 x = - 4$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = - 4$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

خطوة 2.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

خطوة 2.3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

خطوة 2.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{4}{3}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

خطوة 4.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$

خطوة 4.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 2}$ في صورة ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

بسّط ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.4

بسّط.

$4 (x + 2) = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.6

اضرب $4$ في $2$ .

$4 x + 8 = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 x + 8 = 0$

خطوة 4.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$4 x = - 8$

خطوة 4.3.3.2

اقسِم كل حد في $4 x = - 8$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = - 8$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

خطوة 4.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

خطوة 4.3.3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

خطوة 4.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.3.1

اقسِم $- 8$ على $4$ .

$x = - 2$

خطوة 4.4

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x + 2}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x + 2 < 0$

خطوة 4.5

اطرح $2$ من كلا طرفي المتباينة.

$x < - 2$

خطوة 4.6

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = \frac{3 (- 3) + 4}{2 {((- 3) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $3$ في $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 9 + 4}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.1.2

أضف $- 9$ و $4$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 3$ و $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.2.2

أعِد كتابة ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

خطوة 6.2.2.3

احسِب قيمة الأُس.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

خطوة 6.2.2.4

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i}$

خطوة 6.2.3

اضرب بسط وقاسم $\frac{- 5}{2 i}$ في مرافق $2 i$ لجعل القاسم عددًا حقيقيًا.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

خطوة 6.2.4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اجمع.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i i}$

خطوة 6.2.4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.2.1

أضف الأقواس.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

خطوة 6.2.4.2.2

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

خطوة 6.2.4.2.3

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

خطوة 6.2.4.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{1 + 1}}$

خطوة 6.2.4.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{2}}$

خطوة 6.2.4.2.6

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 \cdot - 1}$

خطوة 6.2.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{- 2}$

خطوة 6.2.6

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$f' (- 3) = \frac{5 i}{2}$

خطوة 6.2.7

الإجابة النهائية هي $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{5 i}{2}$

خطوة 6.3

المشتق يساوي $\frac{5 i}{2}$ عند $x = - 3$ . وبما أن العبارة تحتوي على عدد تخيّلي، إذن الدالة غير موجودة في $(- \infty, - 2)$ .

الدالة ليست حقيقية في $(- \infty, - 2)$ بما أن $f' (x)$ عدد تخيّلي

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, - \frac{4}{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.6666667$ في العبارة.

$f' (- 1.6666667) = \frac{3 (- 1.6666667) + 4}{2 {((- 1.6666667) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $3$ في $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 5.0000001 + 4}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2.1.2

أضف $- 5.0000001$ و $4$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $- 1.6666667$ و $2$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.3333333}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2.2.2

أعِد كتابة $0.3333333$ بالصيغة ${0.57735024}^{2}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {({0.57735024}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2.2.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 7.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 7.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

خطوة 7.2.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $2$ في $0.57735024$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{1.15470048}$

خطوة 7.2.3.2

اقسِم $- 1.0000001$ على $1.15470048$ .

$f' (- 1.6666667) = - 0.86602553$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.86602553$ .

$- 0.86602553$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 1.6666667$ هو $- 0.86602553$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 2, - \frac{4}{3})$ .

تناقص خلال $(- 2, - \frac{4}{3})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{4}{3}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.3333334$ في العبارة.

$f' (- 0.3333334) = \frac{3 (- 0.3333334) + 4}{2 {((- 0.3333334) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اضرب $3$ في $- 0.3333334$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{- 1.0000002 + 4}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.1.2

أضف $- 1.0000002$ و $4$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $- 0.3333334$ و $2$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.6666666}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.2.2

أعِد كتابة $1.6666666$ بالصيغة ${1.29099442}^{2}$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {({1.29099442}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.2.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 8.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 8.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

خطوة 8.2.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

خطوة 8.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اضرب $2$ في $1.29099442$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2.58198884}$

خطوة 8.2.3.2

اقسِم $2.9999998$ على $2.58198884$ .

$f' (- 0.3333334) = 1.16189494$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $1.16189494$ .

$1.16189494$

خطوة 8.3

المشتق في $x = - 0.3333334$ هو $1.16189494$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \frac{4}{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(- \frac{4}{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \frac{4}{3}, \infty)$

تناقص خلال: $(- 2, - \frac{4}{3})$

خطوة 10