حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{2} - 8 x^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$6 x - 8 (3 x^{2})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $- 8$ .

$6 x - 24 x^{2}$

خطوة 1.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 24 x^{2} + 6 x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 24 x^{2} + 6 x$ .

$- 24 x^{2} + 6 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 24 x^{2} + 6 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 24 x^{2} + 6 x = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $- 6 x$ من $- 24 x^{2} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $- 6 x$ من $- 24 x^{2}$ .

$- 6 x (4 x) + 6 x = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $- 6 x$ من $6 x$ .

$- 6 x (4 x) - 6 x \cdot - 1 = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $- 6 x$ من $- 6 x (4 x) - 6 x (- 1)$ .

$- 6 x (4 x - 1) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $4 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $4 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x - 1 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x = 1$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $4 x = 1$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = 1$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

خطوة 2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 6 x (4 x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{1}{4}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, \frac{1}{4}$ .

$0, \frac{1}{4}$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = - 24 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = - 24 \cdot 1 + 6 (- 1)$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 24$ في $1$ .

$f' (- 1) = - 24 + 6 (- 1)$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $6$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - 24 - 6$

خطوة 5.2.2

اطرح $6$ من $- 24$ .

$f' (- 1) = - 30$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 30$ .

$- 30$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- 30$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \frac{1}{4})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.125$ في العبارة.

$f' (0.125) = - 24 {(0.125)}^{2} + 6 (0.125)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $0.125$ إلى القوة $2$ .

$f' (0.125) = - 24 \cdot 0.015625 + 6 (0.125)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 24$ في $0.015625$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 6 (0.125)$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $6$ في $0.125$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 0.75$

خطوة 6.2.2

أضف $- 0.375$ و $0.75$ .

$f' (0.125) = 0.375$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $0.375$ .

$0.375$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 0.125$ هو $0.375$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \frac{1}{4})$ .

تزايد خلال $(0, \frac{1}{4})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{1}{4}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.25$ في العبارة.

$f' (1.25) = - 24 {(1.25)}^{2} + 6 (1.25)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $1.25$ إلى القوة $2$ .

$f' (1.25) = - 24 \cdot 1.5625 + 6 (1.25)$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 24$ في $1.5625$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 6 (1.25)$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $6$ في $1.25$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 7.5$

خطوة 7.2.2

أضف $- 37.5$ و $7.5$ .

$f' (1.25) = - 30$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 30$ .

$- 30$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1.25$ هو $- 30$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{1}{4}, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{1}{4}, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, \frac{1}{4})$

تناقص خلال: $(- \infty, 0), (\frac{1}{4}, \infty)$

خطوة 9