حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 25}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 25) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 25) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $- 25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.2

اضرب $2$ في $- 25$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 50 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} - 50 x - 2 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.2.1

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 50 x + 0}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.2.2

أضف $- 50 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{- 50 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.5.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.6.5.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 5$ .

$f' (x) = - \frac{50 x}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

خطوة 1.1.6.5.3

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 5) (x - 5)$ .

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ .

$- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$50 x = 0$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $50 x = 0$ على $50$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $50 x = 0$ على $50$ .

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $50$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{50}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $0$ على $50$ .

$x = 0$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.2

عيّن قيمة العبارة ${(x + 5)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

عيّن قيمة ${(x + 5)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.2.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 5)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

عيّن قيمة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 5 = 0$

خطوة 4.2.2.2.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x = - 5$

خطوة 4.2.3

عيّن قيمة العبارة ${(x - 5)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

عيّن قيمة ${(x - 5)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 5)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 4.2.3.2.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 4.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = - 5, 5$

خطوة 4.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - 5, x = 5$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 5)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f' (- 6) = - \frac{50 (- 6)}{{((- 6) + 5)}^{2} {((- 6) - 5)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $50$ في $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 6 + 5)}^{2} {(- 6 - 5)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 6$ و $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 1)}^{2} {(- 6 - 5)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $5$ من $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 1)}^{2} {(- 11)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{1 {(- 11)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.4

ارفع $- 11$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{1 \cdot 121}$

خطوة 6.2.2.5

اضرب $121$ في $1$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{121}$

خطوة 6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 6) = \frac{300}{121}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{300}{121}$ .

$\frac{300}{121}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 6$ هو $\frac{300}{121}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 5)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 5)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 5, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{5}{2}$ في العبارة.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{50 (- \frac{5}{2})}{{((- \frac{5}{2}) + 5)}^{2} {((- \frac{5}{2}) - 5)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $- 1$ في $50$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 50 (\frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2} + 5)}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اجمع $- 50$ و $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + 5)}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

اجمع $5$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 5 + 5 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.4.1

اضرب $5$ في $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 5 + 10}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4.2

أضف $- 5$ و $10$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.6

لكتابة $- 5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.7

اجمع $- 5$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5 - 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.9.1

اضرب $- 5$ في $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5 - 10}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.9.2

اطرح $10$ من $- 5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 15}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{15}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.11

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{15}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2})}$

خطوة 7.2.2.12

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.12.1

اجمع $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ و ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{15}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.12.2

اجمع $\frac{5^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ و ${(\frac{15}{2})}^{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.2.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.13.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{15}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{15^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.2.13.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.13.2.1

اجمع $5^{2}$ و $\frac{15^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.2.13.2.2

اجمع ${(- 1)}^{2}$ و $\frac{5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} (5^{2} \cdot 15^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.2.13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.13.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.2.13.3.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 25 \cdot 15^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.2.13.3.3

ارفع $15$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 25 \cdot 225}{2^{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.2.13.3.4

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.13.3.4.1

اضرب $25$ في $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{25 \cdot 225}{2^{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.2.13.3.4.2

اضرب $25$ في $225$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{2^{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.2.13.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.2.14

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{4}}$

خطوة 7.2.2.15

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

خطوة 7.2.2.16

اضرب $\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.16.1

اضرب $\frac{5625}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4 \cdot 4}}$

خطوة 7.2.2.16.2

اضرب $4$ في $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $- 50$ في $5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 250}{2}}{\frac{5625}{16}}$

خطوة 7.2.3.2

اقسِم $- 250$ على $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 125}{\frac{5625}{16}}$

خطوة 7.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (- 125 (\frac{16}{5625}))$

خطوة 7.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $125$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

أخرِج العامل $125$ من $- 125$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 (- 1) (\frac{16}{5625}))$

خطوة 7.2.5.2

أخرِج العامل $125$ من $5625$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 \cdot (- 1 \frac{16}{125 \cdot 45}))$

خطوة 7.2.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 \cdot (- 1 \frac{16}{125 \cdot 45}))$

خطوة 7.2.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{16}{45}$

خطوة 7.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{16}{45}$ .

$\frac{16}{45}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - \frac{5}{2}$ هو $\frac{16}{45}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 5, 0)$ .

تزايد خلال $(- 5, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 5)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{50 (\frac{5}{2})}{{((\frac{5}{2}) + 5)}^{2} {((\frac{5}{2}) - 5)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $50$ و $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + 5)}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

اجمع $5$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5 + 5 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.4.1

اضرب $5$ في $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5 + 10}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4.2

أضف $5$ و $10$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{15}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.6

لكتابة $- 5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.7

اجمع $- 5$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5 - 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.9.1

اضرب $- 5$ في $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5 - 10}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.9.2

اطرح $10$ من $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.11

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2})}$

خطوة 8.2.2.12

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.12.1

اجمع $\frac{15^{2}}{2^{2}}$ و ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.12.2

اجمع $\frac{15^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ و ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.13.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.13.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.13.2.1

اجمع $15^{2}$ و $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.13.2.2

اجمع ${(- 1)}^{2}$ و $\frac{15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} (15^{2} \cdot 5^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.13.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.13.3.2

ارفع $15$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 225 \cdot 5^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.13.3.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 225 \cdot 25}{2^{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.13.3.4

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.13.3.4.1

اضرب $225$ في $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{225 \cdot 25}{2^{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.13.3.4.2

اضرب $225$ في $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{2^{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.13.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.14

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{4}}$

خطوة 8.2.2.15

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

خطوة 8.2.2.16

اضرب $\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.16.1

اضرب $\frac{5625}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4 \cdot 4}}$

خطوة 8.2.2.16.2

اضرب $4$ في $4$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

خطوة 8.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اضرب $50$ في $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{250}{2}}{\frac{5625}{16}}$

خطوة 8.2.3.2

اقسِم $250$ على $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{125}{\frac{5625}{16}}$

خطوة 8.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{5625}))$

خطوة 8.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $125$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.5.1

أخرِج العامل $125$ من $5625$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{125 (45)}))$

خطوة 8.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{125 \cdot 45}))$

خطوة 8.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{16}{45}$

خطوة 8.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{16}{45}$ .

$- \frac{16}{45}$

خطوة 8.3

المشتق في $x = \frac{5}{2}$ هو $- \frac{16}{45}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 5)$ .

تناقص خلال $(0, 5)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(5, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = - \frac{50 (6)}{{((6) + 5)}^{2} {((6) - 5)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $50$ في $6$ .

$f' (6) = - \frac{300}{{(6 + 5)}^{2} {(6 - 5)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أضف $6$ و $5$ .

$f' (6) = - \frac{300}{11^{2} {(6 - 5)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.2

اطرح $5$ من $6$ .

$f' (6) = - \frac{300}{11^{2} \cdot 1^{2}}$

خطوة 9.2.2.3

ارفع $11$ إلى القوة $2$ .

$f' (6) = - \frac{300}{121 \cdot 1^{2}}$

خطوة 9.2.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (6) = - \frac{300}{121 \cdot 1}$

خطوة 9.2.3

اضرب $121$ في $1$ .

$f' (6) = - \frac{300}{121}$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{300}{121}$ .

$- \frac{300}{121}$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 6$ هو $- \frac{300}{121}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(5, \infty)$ .

تناقص خلال $(5, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 5), (- 5, 0)$

تناقص خلال: $(0, 5), (5, \infty)$

خطوة 11