حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{1 - x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

اضرب $1 - x$ في $1$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1 - x - x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{1 - x + x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1 - x + x \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.9

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.9.1

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{1 - x + x}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.9.2

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.9.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.9.3.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.9.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 2.3

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(- x + 1)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

${(- (x) + 1)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 1)$ .

${(- (x - 1))}^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $- (x - 1)$ .

${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ على ${(- 1)}^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ على ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم ${(x - 1)}^{2}$ على $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{1}$

خطوة 4.2.2.3.2

اقسِم $0$ على $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.3

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 4.2.4

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \frac{x}{1 - x}$ هو $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = \frac{1}{{(- (0) + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

أضف $0$ و $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

خطوة 6.2.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$f' (0) = 1$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 0$ هو $1$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 1)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = \frac{1}{{(- (2) + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 2 + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

أضف $- 2$ و $1$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{1}$

خطوة 7.2.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$f' (2) = 1$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 2$ هو $1$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

خطوة 9