حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.3

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.4

أضف $0$ و $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 2.3

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 1)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 4.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ هو $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = \frac{1}{{((- 2) + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أضف $- 2$ و $1$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{1}$

خطوة 6.2.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$f' (- 2) = 1$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 2$ هو $1$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 1)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أضف $0$ و $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

خطوة 7.2.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$f' (0) = 1$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 0$ هو $1$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 1, \infty)$ .

تزايد خلال $(- 1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 1), (- 1, \infty)$

خطوة 9