حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$\frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.3

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.4.1

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 2.3

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 4.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ هو $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = - \frac{1}{{((0) - 1)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اطرح $1$ من $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

خطوة 6.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (0) = - 1 \cdot 1$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (0) = - 1$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 0$ هو $- 1$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 1)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = - \frac{1}{{((2) - 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اطرح $1$ من $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{1^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

خطوة 7.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

خطوة 7.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (2) = - 1$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 2$ هو $- 1$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(1, \infty)$ .

تناقص خلال $(1, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

خطوة 9