حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 12 x + 2$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 12 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $- 12$ في $1$ .

$3 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} - 12 + 0$

خطوة 1.1.3.2

أضف $3 x^{2} - 12$ و $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $3 x^{2} - 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

خطوة 2.2

أضف $12$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x^{2} = 12$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 12$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 12$ على $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $12$ على $3$ .

$x^{2} = 4$

خطوة 2.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{4}$

خطوة 2.5

بسّط $\pm \sqrt{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

خطوة 2.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 2$

خطوة 2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2$

خطوة 2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2$

خطوة 2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2, - 2$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $2, - 2$ .

$2, - 2$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} - 12$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = 3 \cdot 9 - 12$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $3$ في $9$ .

$f' (- 3) = 27 - 12$

خطوة 5.2.2

اطرح $12$ من $27$ .

$f' (- 3) = 15$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $15$ .

$15$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 3$ هو $15$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 2)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 2)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$f' (0) = 0 - 12$

خطوة 6.2.2

اطرح $12$ من $0$ .

$f' (0) = - 12$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$- 12$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 0$ هو $- 12$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 2, 2)$ .

تناقص خلال $(- 2, 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 12$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $3$ في ${(3)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

اضرب $3$ في ${(3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 12$

خطوة 7.2.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (3) = 3^{1 + 2} - 12$

خطوة 7.2.1.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$f' (3) = 3^{3} - 12$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

خطوة 7.2.2

اطرح $12$ من $27$ .

$f' (3) = 15$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $15$ .

$15$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 3$ هو $15$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(2, \infty)$ .

تزايد خلال $(2, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

تناقص خلال: $(- 2, 2)$

خطوة 9