حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 x + 3 x^{2} - x^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 3 x^{2} - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$4 + 6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 + 6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 + 6 x - (3 x^{2})$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$4 + 6 x - 3 x^{2}$

خطوة 1.1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 4$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 x^{2} + 6 x + 4$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

خطوة 2.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.3

عوّض بقيم $a = - 3$ و $b = 6$ و $c = 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 4)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.4.1.2.2

اضرب $12$ في $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.4.1.3

أضف $36$ و $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.4.1.4

أعِد كتابة $84$ بالصيغة $2^{2} \cdot 21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.4.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.4.2

اضرب $2$ في $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

خطوة 2.4.3

بسّط $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

خطوة 2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.5.1.2.2

اضرب $12$ في $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.5.1.3

أضف $36$ و $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.5.1.4

أعِد كتابة $84$ بالصيغة $2^{2} \cdot 21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.5.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.5.2

اضرب $2$ في $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

خطوة 2.5.3

بسّط $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

خطوة 2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}$

خطوة 2.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.6.1.2.2

اضرب $12$ في $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.6.1.3

أضف $36$ و $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.6.1.4

أعِد كتابة $84$ بالصيغة $2^{2} \cdot 21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.6.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 2.6.2

اضرب $2$ في $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

خطوة 2.6.3

بسّط $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

خطوة 2.6.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

خطوة 2.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.52752525$ في العبارة.

$f' (- 1.52752525) = - 3 {(- 1.52752525)}^{2} + 6 (- 1.52752525) + 4$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1.52752525$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1.52752525) = - 3 \cdot 2.33333338 + 6 (- 1.52752525) + 4$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 3$ في $2.33333338$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 + 6 (- 1.52752525) + 4$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $6$ في $- 1.52752525$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 - 9.1651515 + 4$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $9.1651515$ من $- 7.00000016$ .

$f' (- 1.52752525) = - 16.16515166 + 4$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 16.16515166$ و $4$ .

$f' (- 1.52752525) = - 12.16515166$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 12.16515166$ .

$- 12.16515166$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 1.52752525$ هو $- 12.16515166$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ .

تناقص خلال $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.99999997$ في العبارة.

$f' (0.99999997) = - 3 {(0.99999997)}^{2} + 6 (0.99999997) + 4$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $0.99999997$ إلى القوة $2$ .

$f' (0.99999997) = - 3 \cdot 0.99999995 + 6 (0.99999997) + 4$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 3$ في $0.99999995$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 6 (0.99999997) + 4$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $6$ في $0.99999997$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 5.99999985 + 4$

خطوة 6.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 2.99999985$ و $5.99999985$ .

$f' (0.99999997) = 3 + 4$

خطوة 6.2.2.2

أضف $3$ و $4$ .

$f' (0.99999997) = 7$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $7$ .

$7$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 0.99999997$ هو $7$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ .

تزايد خلال $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.5275252$ في العبارة.

$f' (3.5275252) = - 3 {(3.5275252)}^{2} + 6 (3.5275252) + 4$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $3.5275252$ إلى القوة $2$ .

$f' (3.5275252) = - 3 \cdot 12.44343403 + 6 (3.5275252) + 4$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 3$ في $12.44343403$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 6 (3.5275252) + 4$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $6$ في $3.5275252$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 21.1651512 + 4$

خطوة 7.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $- 37.3303021$ و $21.1651512$ .

$f' (3.5275252) = - 16.1651509 + 4$

خطوة 7.2.2.2

أضف $- 16.1651509$ و $4$ .

$f' (3.5275252) = - 12.1651509$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 12.1651509$ .

$- 12.1651509$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 3.5275252$ هو $- 12.1651509$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$

تناقص خلال: $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}), (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

خطوة 9