حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $12 x^{3} - 12 x^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{3} - 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 (2 x)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $- 12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $36 x^{2} - 24 x$ .

$36 x^{2} - 24 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $36 x^{2} - 24 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$36 x^{2} - 24 x = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $12 x$ من $36 x^{2} - 24 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $12 x$ من $36 x^{2}$ .

$12 x (3 x) - 24 x = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $12 x$ من $- 24 x$ .

$12 x (3 x) + 12 x (- 2) = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x (3 x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (3 x - 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $3 x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $3 x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 2 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 2$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 2$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 2$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

خطوة 2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 x (3 x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{2}{3}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 1$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 3 \cdot 0 - 4 {(0)}^{3} + 1$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + 1$

خطوة 3.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $- 4$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

خطوة 3.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

خطوة 3.1.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = 1$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ هي $(0, 1)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 1)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $\frac{2}{3}$ في $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{2}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{2}{3}) = 3 {(\frac{2}{3})}^{4} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

خطوة 3.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

أخرِج العامل $3$ من $81$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

خطوة 3.3.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

خطوة 3.3.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

خطوة 3.3.2.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{2^{3}}{3^{3}} + 1$

خطوة 3.3.2.1.6

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{8}{3^{3}} + 1$

خطوة 3.3.2.1.7

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27}) + 1$

خطوة 3.3.2.1.8

اضرب $- 4 (\frac{8}{27})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.8.1

اجمع $- 4$ و $\frac{8}{27}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27} + 1$

خطوة 3.3.2.1.8.2

اضرب $- 4$ في $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27} + 1$

خطوة 3.3.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27} + 1$

خطوة 3.3.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{2}{3}) = 1 + \frac{16 - 32}{27}$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.2.1

اطرح $32$ من $16$ .

$f (\frac{2}{3}) = 1 + \frac{- 16}{27}$

خطوة 3.3.2.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{2}{3}) = 1 - \frac{16}{27}$

خطوة 3.3.2.2.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{27}{27} - \frac{16}{27}$

خطوة 3.3.2.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{27 - 16}{27}$

خطوة 3.3.2.2.2.5

اطرح $16$ من $27$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{11}{27}$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{11}{27}$ .

$\frac{11}{27}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{2}{3}$ في $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ هي $(\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = 36 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.1) = 36 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $36$ في $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.36 - 24 \cdot - 0.1$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 24$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.36 + 2.4$

خطوة 5.2.2

أضف $0.36$ و $2.4$ .

$f'' (- 0.1) = 2.76$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $2.76$ .

$2.76$

خطوة 5.3

في $- 0.1$ ، المشتق الثاني هو $2.76$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \frac{2}{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.\overline{3}$ في العبارة.

$f'' (0.\overline{3}) = 36 {(0.\overline{3})}^{2} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $0.\overline{3}$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $36$ في $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 24 \cdot 0.\overline{3}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 24$ في $0.\overline{3}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 8$

خطوة 6.2.2

اطرح $8$ من $4$ .

$f'' (0.\overline{3}) = - 4$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$- 4$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0.\overline{3}$ يساوي $- 4$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, \frac{2}{3})$

تناقص خلال $(0, \frac{2}{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{2}{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.7\overline{6}$ في العبارة.

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 {(0.7\overline{6})}^{2} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.7\overline{6}$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $36$ في $0.58\overline{7}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 24$ في $0.7\overline{6}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

خطوة 7.2.2

اطرح $18.4$ من $21.16$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 2.76$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $2.76$ .

$2.76$

خطوة 7.3

في $0.7\overline{6}$ ، المشتق الثاني هو $2.76$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{2}{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{2}{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ .

$(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

خطوة 9