حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 x}{x^{2} - 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 1})$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.1.3.2

اضرب $x^{2} - 1$ في $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.1.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.1.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.1.7

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.1.8

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.1.9

اجمع $3$ و $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.10.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} - 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 x^{2} - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.5

اضرب $2$ في $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x + 0) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.7

أضف $- 6 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) (2 \cdot ((x^{2} - 1) x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.5.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 4 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 6 {(x^{2} - 1)}^{2} x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.2

أعِد كتابة ${(x^{2} - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.3

وسّع $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.3

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.4

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.2

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} - 6 (- 2 x^{2}) - 6 \cdot 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.6.1

اضرب $- 2$ في $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 12 x^{2} - 6 \cdot 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.6.2

اضرب $- 6$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 12 x^{2} - 6) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} x + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{1 + 4} + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{1 + 2} - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.9.1

اضرب $- 3$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.9.2

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.10.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.10.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.10.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.10.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2 + 1} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.10.1.2

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{3} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.10.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.11

وسّع $(12 x^{2} + 12) (x^{3} - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} (x^{3} - x) + 12 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- x) + 12 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 (x^{3} x^{2}) + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{3 + 2} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1.3

أضف $3$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{2} x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{3}) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.4

اضرب $12$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.5

اضرب $- 1$ في $12$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.2

أضف $- 12 x^{3}$ و $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 0 - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.3

أضف $12 x^{5}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.2

أضف $- 6 x^{5}$ و $12 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.3

اطرح $12 x$ من $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.1

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.1.1

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 12 x^{3} - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.2

أخرِج العامل $6 x$ من $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2}) - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.3

أخرِج العامل $6 x$ من $- 18 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2}) + 6 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.4

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 6 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.5

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 6 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.3

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (u^{2} + 2 u - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.4

حلّل $u^{2} + 2 u - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 3$ ومجموعهما $2$ .

$- 1, 3$

خطوة 2.2.5.4.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$f'' (x) = \frac{6 x ((u - 1) (u + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 1) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.6

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.7

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.5.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

خطوة 2.2.5.5.2

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

خطوة 2.2.5.5.3

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 1) (x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.6

احذِف العامل المشترك لـ $x + 1$ و ${(x + 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.6.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.6.2.1

أخرِج العامل $x + 1$ من ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

خطوة 2.2.5.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

خطوة 2.2.5.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(6 x (x - 1)) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.7

احذِف العامل المشترك لـ $x - 1$ و ${(x - 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.7.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $(6 x (x - 1)) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.7.2.1

أخرِج العامل $x - 1$ من ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

خطوة 2.2.5.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

خطوة 2.2.5.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(6 x) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$6 x (x^{2} + 3) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

خطوة 3.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.3.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

عيّن قيمة $x^{2} + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 3$

خطوة 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

خطوة 3.3.3.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.3.1

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

خطوة 3.3.3.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (3)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

خطوة 3.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 x (x^{2} + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{3 (0)}{{(0)}^{2} - 1}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $3$ في $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 1}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

خطوة 4.1.2.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

خطوة 4.1.2.3

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = \frac{6 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{((- 0.1) + 1)}^{3} {((- 0.1) - 1)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $6$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.6 ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 0.6$ في ${(- 0.1)}^{2} + 3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 0.1$ و $1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{0.9}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $1$ من $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{0.9}^{3} {(- 1.1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $0.9$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{0.729 {(- 1.1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.4

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{0.729 \cdot - 1.331}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $0.729$ في $- 1.331$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{- 0.970299}$

خطوة 6.2.3.2

اقسِم $- 1.806$ على $- 0.970299$ .

$f'' (- 0.1) = 1.86128193$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $1.86128193$ .

$1.86128193$

خطوة 6.3

في $- 0.1$ ، المشتق الثاني هو $1.86128193$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = \frac{6 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 3)}{{((0.1) + 1)}^{3} {((0.1) - 1)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $6$ في $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.6 ({0.1}^{2} + 3)}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $0.6$ في ${0.1}^{2} + 3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $0.1$ و $1$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{1.1}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $1$ من $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{1.1}^{3} {(- 0.9)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $1.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{1.331 {(- 0.9)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.4

ارفع $- 0.9$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{1.331 \cdot - 0.729}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $1.331$ في $- 0.729$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{- 0.970299}$

خطوة 7.2.3.2

اقسِم $1.806$ على $- 0.970299$ .

$f'' (0.1) = - 1.86128193$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- 1.86128193$ .

$- 1.86128193$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $0.1$ يساوي $- 1.86128193$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, \infty)$

تناقص خلال $(0, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

خطوة 9