حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.1.2.3

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.1.2.4

اجمع $\frac{3}{3}$ و $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.1.2.5.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + 0$

خطوة 2.1.5.2

أضف $x^{2} - 4 x + 3$ و $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + 0$

خطوة 2.2.3.2

أضف $2 x - 4$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x - 4$ .

$2 x - 4$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $2 x - 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - 4 = 0$

خطوة 3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 4$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $2 x = 4$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = 4$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{4}{2}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم $4$ على $2$ .

$x = 2$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $2$ في $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 3 (2) + 2$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 8 - 2 {(2)}^{2} + 3 (2) + 2$

خطوة 4.1.2.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $8$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 2 {(2)}^{2} + 3 (2) + 2$

خطوة 4.1.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 3 (2) + 2$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $- 2$ في $4$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 8 + 3 (2) + 2$

خطوة 4.1.2.1.5

اضرب $3$ في $2$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 8 + 6 + 2$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اكتب $- 8$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 6 + 2$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $\frac{- 8}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 6 + 2$

خطوة 4.1.2.2.3

اضرب $\frac{- 8}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 6 + 2$

خطوة 4.1.2.2.4

اكتب $6$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} + 2$

خطوة 4.1.2.2.5

اضرب $\frac{6}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} \cdot \frac{3}{3} + 2$

خطوة 4.1.2.2.6

اضرب $\frac{6}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + 2$

خطوة 4.1.2.2.7

اكتب $2$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1}$

خطوة 4.1.2.2.8

اضرب $\frac{2}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.1.2.2.9

اضرب $\frac{2}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (2) = \frac{8 - 8 \cdot 3 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.1.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

اضرب $- 8$ في $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 24 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب $6$ في $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 24 + 18 + 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.1.2.4.3

اضرب $2$ في $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 24 + 18 + 6}{3}$

خطوة 4.1.2.5

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.1

اطرح $24$ من $8$ .

$f (2) = \frac{- 16 + 18 + 6}{3}$

خطوة 4.1.2.5.2

أضف $- 16$ و $18$ .

$f (2) = \frac{2 + 6}{3}$

خطوة 4.1.2.5.3

أضف $2$ و $6$ .

$f (2) = \frac{8}{3}$

خطوة 4.1.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $2$ في $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ هي $(2, \frac{8}{3})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(2, \frac{8}{3})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.9$ في العبارة.

$f'' (1.9) = 2 (1.9) - 4$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $1.9$ .

$f'' (1.9) = 3.8 - 4$

خطوة 6.2.2

اطرح $4$ من $3.8$ .

$f'' (1.9) = - 0.2$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.2$ .

$- 0.2$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $1.9$ يساوي $- 0.2$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 2)$

تناقص خلال $(- \infty, 2)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.1$ في العبارة.

$f'' (2.1) = 2 (2.1) - 4$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $2$ في $2.1$ .

$f'' (2.1) = 4.2 - 4$

خطوة 7.2.2

اطرح $4$ من $4.2$ .

$f'' (2.1) = 0.2$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $0.2$ .

$0.2$

خطوة 7.3

في $2.1$ ، المشتق الثاني هو $0.2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(2, \infty)$ .

تزايد خلال $(2, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(2, \frac{8}{3})$ .

$(2, \frac{8}{3})$

خطوة 9