حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x}{x^{2} + 25}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{x}{x^{2} + 25}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 25$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

اضرب $x^{2} + 25$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.1.7

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} + 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.6

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.7

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.4

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) (2 \cdot ((x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.5.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.2

أعِد كتابة ${(x^{2} + 25)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 25) (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.3

وسّع $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 25) + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.2

انقُل $25$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 \cdot x^{2} + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.3

اضرب $25$ في $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 x^{2} + 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.2

أضف $25 x^{2}$ و $25 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.6.1

اضرب $50$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.6.2

اضرب $- 2$ في $625$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.9.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.9.2

اضرب $- 4$ في $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.10

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.10.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.10.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.10.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2 + 1} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.10.2

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.11

وسّع $(4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} + 25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1.3

أضف $3$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{2} x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{1 + 2}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{3}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.4

اضرب $4$ في $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.5

اضرب $25$ في $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.2

اطرح $100 x^{3}$ من $100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.3

أضف $4 x^{5}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.2

أضف $- 2 x^{5}$ و $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.3

اطرح $2500 x$ من $- 1250 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.3

أخرِج العامل $2 x$ من $- 3750 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.4

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.5

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.3

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 50 u - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.4

حلّل $u^{2} - 50 u - 1875$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 1875$ ومجموعهما $- 50$ .

$- 75, 25$

خطوة 2.2.5.4.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 75) (u + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2} + 25$ و ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.5.1

أخرِج العامل $x^{2} + 25$ من $2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 25$ من ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 2.2.5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 2.2.5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x (x^{2} - 75) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 75 = 0$

خطوة 3.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.3.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 75$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

عيّن قيمة $x^{2} - 75$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 75 = 0$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 75 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

أضف $75$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 75$

خطوة 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

خطوة 3.3.3.2.3

بسّط $\pm \sqrt{75}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.3.1

أعِد كتابة $75$ بالصيغة $5^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.3.1.1

أخرِج العامل $25$ من $75$ .

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

خطوة 3.3.3.2.3.1.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

خطوة 3.3.3.2.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 5 \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 5 \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

خطوة 3.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x (x^{2} - 75) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 25}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0}{0 + 25}$

خطوة 4.1.2.1.2

أضف $0$ و $25$ .

$f (0) = \frac{0}{25}$

خطوة 4.1.2.2

اقسِم $0$ على $25$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $5 \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5 \sqrt{3}$ في العبارة.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{{(5 \sqrt{3})}^{2} + 25}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

خطوة 4.3.2.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

خطوة 4.3.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25}$

خطوة 4.3.2.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25}$

خطوة 4.3.2.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

خطوة 4.3.2.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

خطوة 4.3.2.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

خطوة 4.3.2.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $25$ في $3$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{75 + 25}$

خطوة 4.3.2.1.5

أضف $75$ و $25$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{100}$

خطوة 4.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $100$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 (\sqrt{3})}{100}$

خطوة 4.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $100$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5 \cdot 20}$

خطوة 4.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5 \cdot 20}$

خطوة 4.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{20}$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{\sqrt{3}}{20}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{20}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $5 \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ هي $(5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $- 5 \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5 \sqrt{3}$ في العبارة.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{{(- 5 \sqrt{3})}^{2} + 25}$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{{(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

خطوة 4.5.2.1.2

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

خطوة 4.5.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25}$

خطوة 4.5.2.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25}$

خطوة 4.5.2.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

خطوة 4.5.2.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

خطوة 4.5.2.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

خطوة 4.5.2.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

خطوة 4.5.2.1.4

اضرب $25$ في $3$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{75 + 25}$

خطوة 4.5.2.1.5

أضف $75$ و $25$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{100}$

خطوة 4.5.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $100$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{100}$

خطوة 4.5.2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $100$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{5 (20)}$

خطوة 4.5.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{5 \cdot 20}$

خطوة 4.5.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{20}$

خطوة 4.5.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 5 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{20}$

خطوة 4.5.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{\sqrt{3}}{20}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{20}$

خطوة 4.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 5 \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ هي $(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$

خطوة 4.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20}), (- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 5 \sqrt{3}) \cup (- 5 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 5 \sqrt{3}) \cup (5 \sqrt{3}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 8.76025403$ في العبارة.

$f'' (- 8.76025403) = \frac{2 (- 8.76025403) ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $2$ في $- 8.76025403$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 17.52050807 ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 17.52050807$ في ${(- 8.76025403)}^{2} - 75$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 8.76025403$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{(76.7420508 + 25)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $76.7420508$ و $25$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{101.7420508}^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $101.7420508$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{1053177.23320495}$

خطوة 6.2.3

اقسِم $- 30.52161524$ على $1053177.23320495$ .

$f'' (- 8.76025403) = - 0.00002898$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.00002898$ .

$- 0.00002898$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 8.76025403$ يساوي $- 2.89805118 E - 5$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$

تناقص خلال $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4.33012701$ في العبارة.

$f'' (- 4.33012701) = \frac{2 (- 4.33012701) ({(- 4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $2$ في $- 4.33012701$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{- 8.66025403 ({(- 4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 8.66025403$ في ${(- 4.33012701)}^{2} - 75$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $- 4.33012701$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{(18.75 + 25)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $18.75$ و $25$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{43.75}^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $43.75$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{83740.234375}$

خطوة 7.2.3

اقسِم $487.13928962$ على $83740.234375$ .

$f'' (- 4.33012701) = 0.00581726$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $0.00581726$ .

$0.00581726$

خطوة 7.3

في $- 4.33012701$ ، المشتق الثاني هو $0.00581726$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ .

تزايد خلال $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 5 \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.33012701$ في العبارة.

$f'' (4.33012701) = \frac{2 (4.33012701) ({(4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اضرب $2$ في $4.33012701$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{8.66025403 ({4.33012701}^{2} - 75)}{{({4.33012701}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $8.66025403$ في ${4.33012701}^{2} - 75$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{({4.33012701}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $4.33012701$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{(18.75 + 25)}^{3}}$

خطوة 8.2.2.2

أضف $18.75$ و $25$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{43.75}^{3}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $43.75$ إلى القوة $3$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{83740.234375}$

خطوة 8.2.3

اقسِم $- 487.13928962$ على $83740.234375$ .

$f'' (4.33012701) = - 0.00581726$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.00581726$ .

$- 0.00581726$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $4.33012701$ يساوي $- 0.00581726$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, 5 \sqrt{3})$

تناقص خلال $(0, 5 \sqrt{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(5 \sqrt{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8.76025403$ في العبارة.

$f'' (8.76025403) = \frac{2 (8.76025403) ({(8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

اضرب $2$ في $8.76025403$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{17.52050807 ({8.76025403}^{2} - 75)}{{({8.76025403}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $17.52050807$ في ${8.76025403}^{2} - 75$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{({8.76025403}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ارفع $8.76025403$ إلى القوة $2$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{(76.7420508 + 25)}^{3}}$

خطوة 9.2.2.2

أضف $76.7420508$ و $25$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{101.7420508}^{3}}$

خطوة 9.2.2.3

ارفع $101.7420508$ إلى القوة $3$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{1053177.23320495}$

خطوة 9.2.3

اقسِم $30.52161524$ على $1053177.23320495$ .

$f'' (8.76025403) = 0.00002898$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $0.00002898$ .

$0.00002898$

خطوة 9.3

في $8.76025403$ ، المشتق الثاني هو $2.89805118 E - 5$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(5 \sqrt{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(5 \sqrt{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20}), (0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$ .

$(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20}), (0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$

خطوة 11