حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

أوجد نقاط الانعطاف f(x)=2x(x+4)^3
خطوة 1
أوجِد المشتق الثاني.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1
أوجِد المشتق الأول.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، إذن مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 1.1.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن هو حيث و.
خطوة 1.1.3
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن هو حيث و.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.3.1
لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة لتصبح .
خطوة 1.1.3.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 1.1.3.3
استبدِل كافة حالات حدوث بـ .
خطوة 1.1.4
أوجِد المشتقة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.4.1
وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 1.1.4.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 1.1.4.3
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 1.1.4.4
بسّط العبارة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.4.4.1
أضف و.
خطوة 1.1.4.4.2
اضرب في .
خطوة 1.1.4.5
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 1.1.4.6
اضرب في .
خطوة 1.1.5
بسّط.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.5.1
طبّق خاصية التوزيع.
خطوة 1.1.5.2
اضرب في .
خطوة 1.1.5.3
أخرِج العامل من .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.5.3.1
أخرِج العامل من .
خطوة 1.1.5.3.2
أخرِج العامل من .
خطوة 1.1.5.3.3
أخرِج العامل من .
خطوة 1.1.5.4
أضف و.
خطوة 1.1.5.5
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 1.1.5.6
وسّع باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.5.6.1
طبّق خاصية التوزيع.
خطوة 1.1.5.6.2
طبّق خاصية التوزيع.
خطوة 1.1.5.6.3
طبّق خاصية التوزيع.
خطوة 1.1.5.7
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.5.7.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.5.7.1.1
اضرب في .
خطوة 1.1.5.7.1.2
انقُل إلى يسار .
خطوة 1.1.5.7.1.3
اضرب في .
خطوة 1.1.5.7.2
أضف و.
خطوة 1.1.5.8
طبّق خاصية التوزيع.
خطوة 1.1.5.9
بسّط.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.5.9.1
اضرب في .
خطوة 1.1.5.9.2
اضرب في .
خطوة 1.1.5.10
وسّع بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.
خطوة 1.1.5.11
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.5.11.1
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
خطوة 1.1.5.11.2
اضرب في بجمع الأُسس.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.5.11.2.1
انقُل .
خطوة 1.1.5.11.2.2
اضرب في .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.5.11.2.2.1
ارفع إلى القوة .
خطوة 1.1.5.11.2.2.2
استخدِم قاعدة القوة لتجميع الأُسس.
خطوة 1.1.5.11.2.3
أضف و.
خطوة 1.1.5.11.3
اضرب في .
خطوة 1.1.5.11.4
اضرب في .
خطوة 1.1.5.11.5
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
خطوة 1.1.5.11.6
اضرب في بجمع الأُسس.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1.5.11.6.1
انقُل .
خطوة 1.1.5.11.6.2
اضرب في .
خطوة 1.1.5.11.7
اضرب في .
خطوة 1.1.5.11.8
اضرب في .
خطوة 1.1.5.11.9
اضرب في .
خطوة 1.1.5.11.10
اضرب في .
خطوة 1.1.5.12
أضف و.
خطوة 1.1.5.13
أضف و.
خطوة 1.2
أوجِد المشتق الثاني.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.2.1
وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 1.2.2
احسِب قيمة .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.2.2.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، إذن مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 1.2.2.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 1.2.2.3
اضرب في .
خطوة 1.2.3
احسِب قيمة .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.2.3.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، إذن مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 1.2.3.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 1.2.3.3
اضرب في .
خطوة 1.2.4
احسِب قيمة .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.2.4.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، إذن مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 1.2.4.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 1.2.4.3
اضرب في .
خطوة 1.2.5
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.2.5.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 1.2.5.2
أضف و.
خطوة 1.3
المشتق الثاني لـ بالنسبة إلى هو .
خطوة 2
عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ ثم حل المعادلة .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.1
عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ .
خطوة 2.2
حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.2.1
أخرِج العامل من .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.2.1.1
أخرِج العامل من .
خطوة 2.2.1.2
أخرِج العامل من .
خطوة 2.2.1.3
أخرِج العامل من .
خطوة 2.2.1.4
أخرِج العامل من .
خطوة 2.2.1.5
أخرِج العامل من .
خطوة 2.2.2
حلّل إلى عوامل.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.2.2.1
حلّل إلى عوامل باستخدام طريقة AC.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.2.2.1.1
ضع في اعتبارك الصيغة . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما ومجموعهما . في هذه الحالة، حاصل ضربهما ومجموعهما .
خطوة 2.2.2.1.2
اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.
خطوة 2.2.2.2
احذِف الأقواس غير الضرورية.
خطوة 2.3
إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي ، فالعبارة بأكملها تساوي .
خطوة 2.4
عيّن قيمة العبارة بحيث تصبح مساوية لـ وأوجِد قيمة .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.4.1
عيّن قيمة بحيث تصبح مساوية لـ .
خطوة 2.4.2
اطرح من كلا المتعادلين.
خطوة 2.5
عيّن قيمة العبارة بحيث تصبح مساوية لـ وأوجِد قيمة .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.5.1
عيّن قيمة بحيث تصبح مساوية لـ .
خطوة 2.5.2
اطرح من كلا المتعادلين.
خطوة 2.6
الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة صحيحة.
خطوة 3
أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.1
عوّض بقيمة في لإيجاد قيمة .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.1.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 3.1.2
بسّط النتيجة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.1.2.1
اضرب في .
خطوة 3.1.2.2
أضف و.
خطوة 3.1.2.3
ارفع إلى القوة .
خطوة 3.1.2.4
اضرب في .
خطوة 3.1.2.5
الإجابة النهائية هي .
خطوة 3.2
النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ في هي . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.
خطوة 3.3
عوّض بقيمة في لإيجاد قيمة .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.3.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 3.3.2
بسّط النتيجة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.3.2.1
اضرب في .
خطوة 3.3.2.2
أضف و.
خطوة 3.3.2.3
ينتج عن رفع إلى أي قوة موجبة.
خطوة 3.3.2.4
اضرب في .
خطوة 3.3.2.5
الإجابة النهائية هي .
خطوة 3.4
النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ في هي . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.
خطوة 3.5
حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.
خطوة 4
قسّم إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.
خطوة 5
عوّض بقيمة من الفترة في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 5.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 5.2
بسّط النتيجة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 5.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 5.2.1.1
ارفع إلى القوة .
خطوة 5.2.1.2
اضرب في .
خطوة 5.2.1.3
اضرب في .
خطوة 5.2.2
بسّط عن طريق الجمع والطرح.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 5.2.2.1
اطرح من .
خطوة 5.2.2.2
أضف و.
خطوة 5.2.3
الإجابة النهائية هي .
خطوة 5.3
في ، المشتق الثاني هو . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة .
تزايد خلال نظرًا إلى أن
تزايد خلال نظرًا إلى أن
خطوة 6
عوّض بقيمة من الفترة في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 6.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 6.2
بسّط النتيجة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 6.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 6.2.1.1
ارفع إلى القوة .
خطوة 6.2.1.2
اضرب في .
خطوة 6.2.1.3
اضرب في .
خطوة 6.2.2
بسّط عن طريق الجمع والطرح.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 6.2.2.1
اطرح من .
خطوة 6.2.2.2
أضف و.
خطوة 6.2.3
الإجابة النهائية هي .
خطوة 6.3
المشتق الثاني عند يساوي . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة
تناقص خلال حيث إن
تناقص خلال حيث إن
خطوة 7
عوّض بقيمة من الفترة في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 7.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 7.2
بسّط النتيجة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 7.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 7.2.1.1
ارفع إلى القوة .
خطوة 7.2.1.2
اضرب في .
خطوة 7.2.1.3
اضرب في .
خطوة 7.2.2
بسّط عن طريق الجمع والطرح.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 7.2.2.1
اطرح من .
خطوة 7.2.2.2
أضف و.
خطوة 7.2.3
الإجابة النهائية هي .
خطوة 7.3
في ، المشتق الثاني هو . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة .
تزايد خلال نظرًا إلى أن
تزايد خلال نظرًا إلى أن
خطوة 8
An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are .
خطوة 9