حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $15 x^{4} - 90 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 90 x^{2})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 90 x^{2})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 90 x^{2})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $15$ .

$f' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 90 x^{2})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 90$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 90 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 90 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 60 x^{3} - 90 \frac{d}{d x} x^{2}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 60 x^{3} - 90 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 90$ .

$f' (x) = 60 x^{3} - 180 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $60 x^{3} - 180 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 180 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 180 x)$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $60$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $60 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 60 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 180 x)$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x)$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $60$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 180 x)$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 180 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 180$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 180 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} - 180 \frac{d}{d x} x$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} - 180 \cdot 1$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $- 180$ في $1$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} - 180$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $180 x^{2} - 180$ .

$180 x^{2} - 180$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $180 x^{2} - 180 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$180 x^{2} - 180 = 0$

خطوة 2.2

أضف $180$ إلى كلا المتعادلين.

$180 x^{2} = 180$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $180 x^{2} = 180$ على $180$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $180 x^{2} = 180$ على $180$ .

$\frac{180 x^{2}}{180} = \frac{180}{180}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $180$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{180 x^{2}}{180} = \frac{180}{180}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{180}{180}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $180$ على $180$ .

$x^{2} = 1$

خطوة 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 2.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $1$ في $f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 15 {(1)}^{4} - 90 {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 15 \cdot 1 - 90 {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $15$ في $1$ .

$f (1) = 15 - 90 {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 15 - 90 \cdot 1$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $- 90$ في $1$ .

$f (1) = 15 - 90$

خطوة 3.1.2.2

اطرح $90$ من $15$ .

$f (1) = - 75$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- 75$ .

$- 75$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $1$ في $f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$ هي $(1, - 75)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(1, - 75)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 15 {(- 1)}^{4} - 90 {(- 1)}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- 1) = 15 \cdot 1 - 90 {(- 1)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $15$ في $1$ .

$f (- 1) = 15 - 90 {(- 1)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = 15 - 90 \cdot 1$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $- 90$ في $1$ .

$f (- 1) = 15 - 90$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $90$ من $15$ .

$f (- 1) = - 75$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 75$ .

$- 75$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$ هي $(- 1, - 75)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, - 75)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(1, - 75), (- 1, - 75)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.1$ في العبارة.

$f'' (- 1.1) = 180 {(- 1.1)}^{2} - 180$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.1) = 180 \cdot 1.21 - 180$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $180$ في $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 217.8 - 180$

خطوة 5.2.2

اطرح $180$ من $217.8$ .

$f'' (- 1.1) = 37.8$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $37.8$ .

$37.8$

خطوة 5.3

في $- 1.1$ ، المشتق الثاني هو $37.8$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 1)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 180 {(0)}^{2} - 180$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 180 \cdot 0 - 180$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $180$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - 180$

خطوة 6.2.2

اطرح $180$ من $0$ .

$f'' (0) = - 180$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 180$ .

$- 180$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0$ يساوي $- 180$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 1, 1)$

تناقص خلال $(- 1, 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.1$ في العبارة.

$f'' (1.1) = 180 {(1.1)}^{2} - 180$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.1) = 180 \cdot 1.21 - 180$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $180$ في $1.21$ .

$f'' (1.1) = 217.8 - 180$

خطوة 7.2.2

اطرح $180$ من $217.8$ .

$f'' (1.1) = 37.8$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $37.8$ .

$37.8$

خطوة 7.3

في $1.1$ ، المشتق الثاني هو $37.8$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 75), (1, - 75)$ .

$(- 1, - 75), (1, - 75)$

خطوة 9