حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

خطوة 1

اكتب $y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ في صورة دالة.

$f (x) = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 51 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $3$ في $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 51 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 51$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 51 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 51 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 51$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 180 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 180$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 180 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $- 180$ في $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 2.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + 0$

خطوة 2.1.5.2

أضف $12 x^{2} - 102 x - 180$ و $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{2} - 102 x - 180$ .

$12 x^{2} - 102 x - 180$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12 x^{2} - 102 x - 180$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $6$ من $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) - 102 x - 180 = 0$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $6$ من $- 102 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) - 180 = 0$

خطوة 3.2.1.3

أخرِج العامل $6$ من $- 180$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) + 6 (- 30) = 0$

خطوة 3.2.1.4

أخرِج العامل $6$ من $6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x)$ .

$6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30) = 0$

خطوة 3.2.1.5

أخرِج العامل $6$ من $6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30)$ .

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

خطوة 3.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 30 = - 60$ ومجموعهما $b = - 17$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 17$ من $- 17 x$ .

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

خطوة 3.2.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 17$ في صورة $3$ زائد $- 20$

$6 (2 x^{2} + (3 - 20) x - 30) = 0$

خطوة 3.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (2 x^{2} + 3 x - 20 x - 30) = 0$

خطوة 3.2.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$6 ((2 x^{2} + 3 x) - 20 x - 30) = 0$

خطوة 3.2.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$6 (x (2 x + 3) - 10 (2 x + 3)) = 0$

خطوة 3.2.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x + 3$ .

$6 ((2 x + 3) (x - 10)) = 0$

خطوة 3.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$x - 10 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $2 x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $2 x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 3 = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 3$

خطوة 3.4.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 3$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 3$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{3}{2}$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 10 = 0$

خطوة 3.5.2

أضف $10$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 10$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{3}{2}, 10$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- \frac{3}{2}, 10$ .

$- \frac{3}{2}, 10$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 10) \cup (10, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{3}{2})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.5$ في العبارة.

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{2} - 102 \cdot - 2.5 - 180$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 2.5$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2.5) = 12 \cdot 6.25 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $12$ في $6.25$ .

$f' (- 2.5) = 75 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 102$ في $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = 75 + 255 - 180$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $75$ و $255$ .

$f' (- 2.5) = 330 - 180$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $180$ من $330$ .

$f' (- 2.5) = 150$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $150$ .

$150$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 2.5$ هو $150$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - \frac{3}{2})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1.5, 10)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.25$ في العبارة.

$f' (4.25) = 12 {(4.25)}^{2} - 102 \cdot 4.25 - 180$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $4.25$ إلى القوة $2$ .

$f' (4.25) = 12 \cdot 18.0625 - 102 \cdot 4.25 - 180$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $12$ في $18.0625$ .

$f' (4.25) = 216.75 - 102 \cdot 4.25 - 180$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 102$ في $4.25$ .

$f' (4.25) = 216.75 - 433.5 - 180$

خطوة 7.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $433.5$ من $216.75$ .

$f' (4.25) = - 216.75 - 180$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $180$ من $- 216.75$ .

$f' (4.25) = - 396.75$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 396.75$ .

$- 396.75$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 4.25$ هو $- 396.75$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 1.5, 10)$ .

تناقص خلال $(- \frac{3}{2}, 10)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(10, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $11$ في العبارة.

$f' (11) = 12 {(11)}^{2} - 102 \cdot 11 - 180$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $11$ إلى القوة $2$ .

$f' (11) = 12 \cdot 121 - 102 \cdot 11 - 180$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $12$ في $121$ .

$f' (11) = 1452 - 102 \cdot 11 - 180$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $- 102$ في $11$ .

$f' (11) = 1452 - 1122 - 180$

خطوة 8.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اطرح $1122$ من $1452$ .

$f' (11) = 330 - 180$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $180$ من $330$ .

$f' (11) = 150$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $150$ .

$150$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 11$ هو $150$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(10, \infty)$ .

تزايد خلال $(10, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - \frac{3}{2}), (10, \infty)$

تناقص خلال: $(- \frac{3}{2}, 10)$

خطوة 10