حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

خطوة 1

اكتب $y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ في صورة دالة.

$f (x) = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $3$ في $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 18 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$24 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 18$ .

$24 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 24 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $- 24$ في $1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + 0$

خطوة 2.1.5.2

أضف $24 x^{2} - 36 x - 24$ و $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $12$ من $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $12$ من $24 x^{2}$ .

$12 (2 x^{2}) - 36 x - 24 = 0$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $12$ من $- 36 x$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) - 24 = 0$

خطوة 3.2.1.3

أخرِج العامل $12$ من $- 24$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) + 12 (- 2) = 0$

خطوة 3.2.1.4

أخرِج العامل $12$ من $12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2) = 0$

خطوة 3.2.1.5

أخرِج العامل $12$ من $12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

خطوة 3.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ ومجموعهما $b = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 x$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

خطوة 3.2.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 3$ في صورة $1$ زائد $- 4$

$12 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

خطوة 3.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$12 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

خطوة 3.2.2.1.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$12 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

خطوة 3.2.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$12 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

خطوة 3.2.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$12 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

خطوة 3.2.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x + 1$ .

$12 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

خطوة 3.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 1 = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 1$

خطوة 3.4.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 3.5.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- \frac{1}{2}, 2$ .

$- \frac{1}{2}, 2$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{1}{2})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.5$ في العبارة.

$f' (- 1.5) = 24 {(- 1.5)}^{2} - 36 \cdot - 1.5 - 24$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.5$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1.5) = 24 \cdot 2.25 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $24$ في $2.25$ .

$f' (- 1.5) = 54 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 36$ في $- 1.5$ .

$f' (- 1.5) = 54 + 54 - 24$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $54$ و $54$ .

$f' (- 1.5) = 108 - 24$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $24$ من $108$ .

$f' (- 1.5) = 84$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $84$ .

$84$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1.5$ هو $84$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - \frac{1}{2})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 0.5, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.75$ في العبارة.

$f' (0.75) = 24 {(0.75)}^{2} - 36 \cdot 0.75 - 24$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.75$ إلى القوة $2$ .

$f' (0.75) = 24 \cdot 0.5625 - 36 \cdot 0.75 - 24$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $24$ في $0.5625$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 36 \cdot 0.75 - 24$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 36$ في $0.75$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 27 - 24$

خطوة 7.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $27$ من $13.5$ .

$f' (0.75) = - 13.5 - 24$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $24$ من $- 13.5$ .

$f' (0.75) = - 37.5$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 37.5$ .

$- 37.5$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 0.75$ هو $- 37.5$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 0.5, 2)$ .

تناقص خلال $(- \frac{1}{2}, 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = 24 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3 - 24$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = 24 \cdot 9 - 36 \cdot 3 - 24$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $24$ في $9$ .

$f' (3) = 216 - 36 \cdot 3 - 24$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $- 36$ في $3$ .

$f' (3) = 216 - 108 - 24$

خطوة 8.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اطرح $108$ من $216$ .

$f' (3) = 108 - 24$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $24$ من $108$ .

$f' (3) = 84$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $84$ .

$84$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 3$ هو $84$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(2, \infty)$ .

تزايد خلال $(2, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - \frac{1}{2}), (2, \infty)$

تناقص خلال: $(- \frac{1}{2}, 2)$

خطوة 10