حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

خطوة 1.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

خطوة 1.1.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.6

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.6.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.10

اطرح $4$ من $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.11

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.12

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.2.13

أضف $2 x^{- 3}$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

خطوة 1.1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

خطوة 1.1.2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

خطوة 1.1.2.4.2.2

أضف $\frac{2}{x^{3}}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 = 0$

خطوة 1.2.3

بما أن $2 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 2.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و ${(- 2)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

خطوة 4.2.1.2

أخرِج العامل $- 2$ من $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

خطوة 4.2.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1

أخرِج العامل $- 2$ من ${(- 2)}^{3}$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

خطوة 4.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, 0)$ لأن $f'' (- 2)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و ${(2)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

خطوة 5.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من ${(2)}^{3}$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

خطوة 5.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

خطوة 5.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

خطوة 5.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(0, \infty)$ لأن $f'' (2)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7