حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

خطوة 1

اكتب $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

خطوة 2.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

خطوة 2.1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

بما أن $- \frac{1}{32}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{2}}{32}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.1.1.2.2

اجمع $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ و $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x)$

خطوة 2.1.1.2.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

خطوة 2.1.1.2.4.2

اجمع $- 2$ و $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

خطوة 2.1.1.2.4.3

اجمع $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ و $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{32}$

خطوة 2.1.1.2.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{32}$

خطوة 2.1.1.2.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $32$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 (16)}$

خطوة 2.1.1.2.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.1.1.2.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

خطوة 2.1.1.2.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.4.5.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

خطوة 2.1.1.2.4.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ .

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- \frac{1}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$ .

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ .

$- \frac{1}{16} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{32}}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

بما أن $- \frac{1}{32}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{2}}{32}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.2.1

اجمع $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ و $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.4.2.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.4.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{16} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.4.4.2

اجمع $- 2$ و $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.4.4.3

اجمع $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32}$ و $x$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}}) x}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.8

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.8.1

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.8.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $32$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 (16)} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 \cdot 16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{16} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.8.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \cdot 1)$

خطوة 2.1.2.10

اضرب $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ في $1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}})$

خطوة 2.1.2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}) - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

خطوة 2.1.2.11.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.11.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{16}) \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

خطوة 2.1.2.11.2.2

اضرب $\frac{1}{16}$ في $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

خطوة 2.1.2.11.2.3

اضرب $\frac{1}{16}$ في $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16 \cdot 16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

خطوة 2.1.2.11.2.4

اضرب $16$ في $16$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

خطوة 2.1.2.11.2.5

اجمع $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ و $\frac{1}{16}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$

خطوة 2.2.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x = - 4, 4$

خطوة 3

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 4)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2} e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

انقُل $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 5.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 5.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 5.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 5.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 5.2.1.5

أخرِج العامل $4$ من $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 5.2.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $256 e^{\frac{9}{8}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 5.2.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 5.2.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 5.2.1.7

انقُل $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}$

خطوة 5.2.1.8

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

خطوة 5.2.1.9

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.9.1

أخرِج العامل $4$ من $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

خطوة 5.2.1.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.9.2.1

أخرِج العامل $4$ من $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

خطوة 5.2.1.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

خطوة 5.2.1.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

خطوة 5.2.2

لكتابة $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 5.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $64 e^{\frac{9}{8}}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

خطوة 5.2.3.2

اضرب $4$ في $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

خطوة 5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- 6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

خطوة 5.2.5

اطرح $4$ من $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

خطوة 5.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, - 4)$ لأن $f'' (- 6)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - 4)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 4, 4)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 6.2.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{0 e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 6.2.1.2.2

اقسِم $0$ على $32$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- 0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 6.2.1.2.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 6.2.1.2.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f'' (0) = \frac{0 \cdot 1}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $0$ في $1$ .

$f'' (0) = \frac{0}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 6.2.1.4

اقسِم $0$ على $256$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 6.2.1.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{0}{32}}}{16}$

خطوة 6.2.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.6.1

اقسِم $0$ على $32$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- 0}}{16}$

خطوة 6.2.1.6.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{0}}{16}$

خطوة 6.2.1.6.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{1}{16}$

خطوة 6.2.2

اطرح $\frac{1}{16}$ من $0$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{16}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{16}$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- 4, 4)$ لأن $f'' (0)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- 4, 4)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2} e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

انقُل $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2}}{256 e^{\frac{6^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6) = \frac{6^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 7.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $36$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 7.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $32$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 7.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 7.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 7.2.1.5

أخرِج العامل $4$ من $36$ .

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 7.2.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $256 e^{\frac{9}{8}}$ .

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 7.2.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 7.2.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

خطوة 7.2.1.7

انقُل $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{6^{2}}{32}}}$

خطوة 7.2.1.8

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

خطوة 7.2.1.9

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.9.1

أخرِج العامل $4$ من $36$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

خطوة 7.2.1.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.9.2.1

أخرِج العامل $4$ من $32$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

خطوة 7.2.1.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

خطوة 7.2.1.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

خطوة 7.2.2

لكتابة $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 7.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $64 e^{\frac{9}{8}}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $4$ في $16$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

خطوة 7.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

خطوة 7.2.5

اطرح $4$ من $9$ .

$f'' (6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

خطوة 7.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

خطوة 7.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(4, \infty)$ لأن $f'' (6)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(4, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - 4)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(- 4, 4)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(4, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 9