حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 1

اكتب ${(x^{2} - 1)}^{3}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 2.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 2.1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 1$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.1.1.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

خطوة 2.1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

خطوة 2.1.1.2.4.2

اضرب $2$ في $3$ .

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

خطوة 2.1.1.2.4.3

أعِد ترتيب عوامل $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}] + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 1$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.4.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.4.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$6 (x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 (x^{1} x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 (x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 (x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.8

أضف $1$ و $1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1)$

خطوة 2.1.2.10

اضرب ${(x^{2} - 1)}^{2}$ في $1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

خطوة 2.1.2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

خطوة 2.1.2.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

خطوة 2.1.2.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

خطوة 2.1.2.11.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.11.4.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.11.4.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

خطوة 2.1.2.11.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

خطوة 2.1.2.11.4.1.3

أضف $2$ و $2$ .

$6 (x^{4} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

خطوة 2.1.2.11.4.2

انقُل $4$ إلى يسار $x^{4}$ .

$6 (4 \cdot x^{4}) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

خطوة 2.1.2.11.4.3

اضرب $4$ في $6$ .

$24 x^{4} + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

خطوة 2.1.2.11.4.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$24 x^{4} + 6 (x^{2} \cdot - 4) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

خطوة 2.1.2.11.4.5

انقُل $- 4$ إلى يسار $x^{2}$ .

$24 x^{4} + 6 (- 4 \cdot x^{2}) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

خطوة 2.1.2.11.4.6

اضرب $- 4$ في $6$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

خطوة 2.1.2.11.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.11.5.1

أعِد كتابة ${(x^{2} - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.2.11.5.2

وسّع $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.11.5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.2.11.5.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1))$

خطوة 2.1.2.11.5.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

خطوة 2.1.2.11.5.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.11.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.11.5.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.11.5.3.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

خطوة 2.1.2.11.5.3.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

خطوة 2.1.2.11.5.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

خطوة 2.1.2.11.5.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

خطوة 2.1.2.11.5.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1)$

خطوة 2.1.2.11.5.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1)$

خطوة 2.1.2.11.5.3.2

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

خطوة 2.1.2.11.5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} + 6 (- 2 x^{2}) + 6 \cdot 1$

خطوة 2.1.2.11.5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.11.5.5.1

اضرب $- 2$ في $6$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

خطوة 2.1.2.11.5.5.2

اضرب $6$ في $1$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6$

خطوة 2.1.2.11.6

أضف $24 x^{4}$ و $6 x^{4}$ .

$30 x^{4} - 24 x^{2} - 12 x^{2} + 6$

خطوة 2.1.2.11.7

اطرح $12 x^{2}$ من $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$ .

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$

خطوة 2.2.2

عوّض بـ $u = x^{2}$ في المعادلة. سيسهّل ذلك استخدام الصيغة التربيعية.

$30 u^{2} - 36 u + 6 = 0$

$u = x^{2}$

خطوة 2.2.3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $6$ من $30 u^{2} - 36 u + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

أخرِج العامل $6$ من $30 u^{2}$ .

$6 (5 u^{2}) - 36 u + 6 = 0$

خطوة 2.2.3.1.2

أخرِج العامل $6$ من $- 36 u$ .

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 = 0$

خطوة 2.2.3.1.3

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 (1) = 0$

خطوة 2.2.3.1.4

أخرِج العامل $6$ من $6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u)$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1) = 0$

خطوة 2.2.3.1.5

أخرِج العامل $6$ من $6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1)$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

خطوة 2.2.3.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ ومجموعهما $b = - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 6$ من $- 6 u$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

خطوة 2.2.3.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 6$ في صورة $- 1$ زائد $- 5$

$6 (5 u^{2} + (- 1 - 5) u + 1) = 0$

خطوة 2.2.3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (5 u^{2} - 1 u - 5 u + 1) = 0$

خطوة 2.2.3.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$6 ((5 u^{2} - 1 u) - 5 u + 1) = 0$

خطوة 2.2.3.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$6 (u (5 u - 1) - (5 u - 1)) = 0$

خطوة 2.2.3.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $5 u - 1$ .

$6 ((5 u - 1) (u - 1)) = 0$

خطوة 2.2.3.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$

خطوة 2.2.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$5 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

خطوة 2.2.5

عيّن قيمة العبارة $5 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

عيّن قيمة $5 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 u - 1 = 0$

خطوة 2.2.5.2

أوجِد قيمة $u$ في $5 u - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$5 u = 1$

خطوة 2.2.5.2.2

اقسِم كل حد في $5 u = 1$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $5 u = 1$ على $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

خطوة 2.2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

خطوة 2.2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{1}{5}$

خطوة 2.2.6

عيّن قيمة العبارة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

عيّن قيمة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 1 = 0$

خطوة 2.2.6.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 1$

خطوة 2.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$ صحيحة.

$u = \frac{1}{5}, 1$

خطوة 2.2.8

عوّض بالقيمة الحقيقية لـ $u = x^{2}$ مرة أخرى في المعادلة المحلولة.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

خطوة 2.2.9

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة الأولى.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

خطوة 2.2.10

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

خطوة 2.2.10.2

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.2.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{5}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

خطوة 2.2.10.2.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

خطوة 2.2.10.2.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

خطوة 2.2.10.2.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.2.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 2.2.10.2.4.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

خطوة 2.2.10.2.4.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

خطوة 2.2.10.2.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.2.10.2.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 2.2.10.2.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.2.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.2.10.2.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.2.10.2.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.2.10.2.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.2.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.2.10.2.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

خطوة 2.2.10.2.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

خطوة 2.2.10.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

خطوة 2.2.10.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

خطوة 2.2.10.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

خطوة 2.2.11

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة الثانية.

${(x^{2})}^{1} = 1$

خطوة 2.2.12

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.1

احذِف الأقواس.

$x^{2} = 1$

خطوة 2.2.12.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 2.2.12.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 2.2.12.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 2.2.12.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 2.2.12.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 2.2.13

حل $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ هو $x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ .

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

خطوة 3

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{5}, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f'' (- 4) = 30 {(- 4)}^{4} - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 4) = 30 \cdot 256 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $30$ في $256$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $- 36$ في $16$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 576 + 6$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $576$ من $7680$ .

$f'' (- 4) = 7104 + 6$

خطوة 5.2.2.2

أضف $7104$ و $6$ .

$f'' (- 4) = 7110$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $7110$ .

$7110$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, - 1)$ لأن $f'' (- 4)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - 1)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.72$ في العبارة.

$f'' (- 0.72) = 30 {(- 0.72)}^{4} - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.72$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $30$ في $0.26873856$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 0.72$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 36$ في $0.5184$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $18.6624$ من $8.0621568$ .

$f'' (- 0.72) = - 10.6002432 + 6$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 10.6002432$ و $6$ .

$f'' (- 0.72) = - 4.6002432$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4.6002432$ .

$- 4.6002432$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ لأن $f'' (- 0.72)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 30 {(0)}^{4} - 36 {(0)}^{2} + 6$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 30 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $30$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

خطوة 7.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 6$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $- 36$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 6$

خطوة 7.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

خطوة 7.2.2.2

أضف $0$ و $6$ .

$f'' (0) = 6$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$6$

خطوة 7.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8

عوّض بأي عدد من الفترة $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.72$ في العبارة.

$f'' (0.72) = 30 {(0.72)}^{4} - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.72$ إلى القوة $4$ .

$f'' (0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $30$ في $0.26873856$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $0.72$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $- 36$ في $0.5184$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

خطوة 8.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اطرح $18.6624$ من $8.0621568$ .

$f'' (0.72) = - 10.6002432 + 6$

خطوة 8.2.2.2

أضف $- 10.6002432$ و $6$ .

$f'' (0.72) = - 4.6002432$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4.6002432$ .

$- 4.6002432$

خطوة 8.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ لأن $f'' (0.72)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 9

عوّض بأي عدد من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f'' (4) = 30 {(4)}^{4} - 36 {(4)}^{2} + 6$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$f'' (4) = 30 \cdot 256 - 36 {(4)}^{2} + 6$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $30$ في $256$ .

$f'' (4) = 7680 - 36 {(4)}^{2} + 6$

خطوة 9.2.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

خطوة 9.2.1.4

اضرب $- 36$ في $16$ .

$f'' (4) = 7680 - 576 + 6$

خطوة 9.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اطرح $576$ من $7680$ .

$f'' (4) = 7104 + 6$

خطوة 9.2.2.2

أضف $7104$ و $6$ .

$f'' (4) = 7110$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $7110$ .

$7110$

خطوة 9.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(1, \infty)$ لأن $f'' (4)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(1, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 10

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - 1)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(1, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 11