حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{x}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

خطوة 1.1.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.2.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.2.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.2.2.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

خطوة 1.1.2.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.6.1

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $0$ .

$2 x^{- 3} + 0$

خطوة 1.1.2.2.6.2

أضف $2 x^{- 3}$ و $0$ .

$2 x^{- 3}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 1.1.2.3.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 = 0$

خطوة 1.2.3

بما أن $2 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 2.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و ${(- 2)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

خطوة 4.2.1.2

أخرِج العامل $- 2$ من $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

خطوة 4.2.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1

أخرِج العامل $- 2$ من ${(- 2)}^{3}$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

خطوة 4.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, 0)$ لأن $f'' (- 2)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و ${(2)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

خطوة 5.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من ${(2)}^{3}$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

خطوة 5.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

خطوة 5.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

خطوة 5.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(0, \infty)$ لأن $f'' (2)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7