حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{1 + x^{2}}$ بالصيغة ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 + x^{2})}^{- 1})$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = 1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

خطوة 1.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 1.1.1.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 1.1.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

خطوة 1.1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

خطوة 1.1.1.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

خطوة 1.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

خطوة 1.1.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

خطوة 1.1.1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

خطوة 1.1.1.4.2.3

اجمع $x$ و $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.4.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 1.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 1.1.2.3.3

اضرب ${(1 + x^{2})}^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.2

أخرِج العامل $1 + x^{2}$ من ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.2.1

أخرِج العامل $1 + x^{2}$ من ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.2.2

أخرِج العامل $1 + x^{2}$ من $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.2.3

أخرِج العامل $1 + x^{2}$ من $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 1.1.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أخرِج العامل $1 + x^{2}$ من ${(1 + x^{2})}^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.11

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.13

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.15

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.16

اطرح $4 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.17

اجمع $- 2$ و $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.18

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{(2) (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.19.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.19.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.19.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.19.2.2

اضرب $- 3$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.19.3

أخرِج العامل $2$ من $2 - 6 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.19.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.19.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.2.19.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (1) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 (1 - 3 x^{2}) = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

اقسِم كل حد في $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.3.1.2.1.2

اقسِم $1 - 3 x^{2}$ على $1$ .

$1 - 3 x^{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$1 - 3 x^{2} = 0$

خطوة 1.2.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 3 x^{2} = - 1$

خطوة 1.2.3.3

اقسِم كل حد في $- 3 x^{2} = - 1$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

اقسِم كل حد في $- 3 x^{2} = - 1$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

خطوة 1.2.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

خطوة 1.2.3.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

خطوة 1.2.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

خطوة 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.2.3.5

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

خطوة 1.2.3.5.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

خطوة 1.2.3.5.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 1.2.3.5.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 1.2.3.5.4.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 1.2.3.5.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 1.2.3.5.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 1.2.3.5.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 1.2.3.5.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.2.3.5.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.2.3.5.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.2.3.5.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.2.3.5.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 1.2.3.5.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 1.2.3.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 1.2.3.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 1.2.3.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{1 + x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$1 + x^{2} = 0$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 1$

خطوة 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i$

خطوة 2.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i$

خطوة 2.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i$

خطوة 2.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i, - i$

خطوة 2.3

النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 3 {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $- 3$ في ${(- 3)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- 3$ في ${(- 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + (- 3) {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

خطوة 4.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{1 + 2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

خطوة 4.2.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{3})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

خطوة 4.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $27$ من $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

خطوة 4.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

خطوة 4.2.3.2

أضف $1$ و $9$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

خطوة 4.2.3.3

ارفع $10$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

خطوة 4.2.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اضرب $2$ في $- 26$ .

$f'' (- 3) = - \frac{- 52}{1000}$

خطوة 4.2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 52$ و $1000$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 52$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

خطوة 4.2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $1000$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

خطوة 4.2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

خطوة 4.2.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 3) = - \frac{- 13}{250}$

خطوة 4.2.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 3) = \frac{13}{250}$

خطوة 4.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ لأن $f'' (- 3)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 {(0)}^{2})}{{(1 + {(0)}^{2})}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 3$ في $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 + 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

خطوة 5.2.1.3

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

خطوة 5.2.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1}$

خطوة 5.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

خطوة 5.2.3.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

خطوة 5.2.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (0) = - 2$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ لأن $f'' (0)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 {(3)}^{2})}{{(1 + {(3)}^{2})}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 9)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 3$ في $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

خطوة 6.2.1.3

اطرح $27$ من $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $1$ و $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $10$ إلى القوة $3$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

خطوة 6.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $2$ في $- 26$ .

$f'' (3) = - \frac{- 52}{1000}$

خطوة 6.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 52$ و $1000$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 52$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

خطوة 6.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $1000$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

خطوة 6.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

خطوة 6.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (3) = - \frac{- 13}{250}$

خطوة 6.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (3) = \frac{13}{250}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ لأن $f'' (3)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8