حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 3$ .

$2 \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 3$ .

$2 \frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.6

أضف $1$ و $2$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.7

اجمع $2$ و $\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 (2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.8.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.8.4.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.8.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.8.4.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{1} x^{2})) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8.4.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8.4.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8.4.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8.4.1.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 (6 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8.4.1.4

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 12 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8.4.1.5

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 12 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 x^{3} + 12 x - 4 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.8.4.2.1

اطرح $4 x^{3}$ من $4 x^{3}$ .

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8.4.2.2

أضف $12 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

خطوة 1.1.2.2

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.3.3

اضرب ${(x^{2} + 3)}^{2}$ في $1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 3$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 3$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.2

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.2.2

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.2.3

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.9

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.10.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.14

أضف $1$ و $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.15

اطرح $4 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$12 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.16

اجمع $12$ و $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{12 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.17.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{12 (- 3 x^{2}) + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.17.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.17.2.1

اضرب $- 3$ في $12$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.17.2.2

اضرب $12$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- 36 x^{2} + 36 = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اطرح $36$ من كلا المتعادلين.

$- 36 x^{2} = - 36$

خطوة 1.2.3.2

اقسِم كل حد في $- 36 x^{2} = - 36$ على $- 36$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 36 x^{2} = - 36$ على $- 36$ .

$\frac{- 36 x^{2}}{- 36} = \frac{- 36}{- 36}$

خطوة 1.2.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 36 x^{2}}{- 36} = \frac{- 36}{- 36}$

خطوة 1.2.3.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 36}{- 36}$

خطوة 1.2.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.3.1

اقسِم $- 36$ على $- 36$ .

$x^{2} = 1$

خطوة 1.2.3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 1.2.3.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 1.2.3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 1.2.3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 1.2.3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} + 3 = 0$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 3$

خطوة 2.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

خطوة 2.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (3)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

خطوة 2.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

خطوة 2.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i \sqrt{3}$

خطوة 2.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i \sqrt{3}$

خطوة 2.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

خطوة 2.3

النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f'' (- 4) = \frac{- 36 {(- 4)}^{2} + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 36 \cdot 16 + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $- 36$ في $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 576 + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 4.2.1.3

أضف $- 576$ و $36$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 4.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{{(16 + 3)}^{3}}$

خطوة 4.2.2.2

أضف $16$ و $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{19^{3}}$

خطوة 4.2.2.3

ارفع $19$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{6859}$

خطوة 4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 4) = - \frac{540}{6859}$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{540}{6859}$ .

$- \frac{540}{6859}$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - 1)$ لأن $f'' (- 4)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 1, 1)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = \frac{- 36 {(0)}^{2} + 36}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{- 36 \cdot 0 + 36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 36$ في $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 5.2.1.3

أضف $0$ و $36$ .

$f'' (0) = \frac{36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{36}{{(0 + 3)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $0$ و $3$ .

$f'' (0) = \frac{36}{3^{3}}$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0) = \frac{36}{27}$

خطوة 5.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أخرِج العامل $9$ من $36$ .

$f'' (0) = \frac{9 (4)}{27}$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

خطوة 5.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = \frac{4}{3}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- 1, 1)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- 1, 1)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f'' (4) = \frac{- 36 {(4)}^{2} + 36}{{({(4)}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 36 \cdot 16 + 36}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 36$ في $16$ .

$f'' (4) = \frac{- 576 + 36}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.3

أضف $- 576$ و $36$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{{(16 + 3)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $16$ و $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{19^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $19$ إلى القوة $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{6859}$

خطوة 6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (4) = - \frac{540}{6859}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{540}{6859}$ .

$- \frac{540}{6859}$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(1, \infty)$ لأن $f'' (4)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(1, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- 1, 1)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(1, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 8