حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - x^{2} + x$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احذِف الأقواس.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

خطوة 2.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

أعِد كتابة ${(x + h)}^{2}$ بالصيغة $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - ((x + h) (x + h)) + x + h$

خطوة 2.1.2.2.2

وسّع $(x + h) (x + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = - (x (x + h) + h (x + h)) + x + h$

خطوة 2.1.2.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h$

خطوة 2.1.2.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

خطوة 2.1.2.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

خطوة 2.1.2.2.3.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h$

خطوة 2.1.2.2.3.2

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.3.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h$

خطوة 2.1.2.2.3.2.2

أضف $h x$ و $h x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h$

خطوة 2.1.2.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = - x^{2} - (2 h x) - h^{2} + x + h$

خطوة 2.1.2.2.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

خطوة 2.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $x$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + h + x$

خطوة 2.2.2

انقُل $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + h + x$

خطوة 2.2.3

أعِد ترتيب $- 2 h x$ و $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x - (- x^{2} + x)}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

خطوة 4.1.2

اضرب $- - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + 1 x^{2} - x}{h}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

خطوة 4.1.3

أضف $- x^{2}$ و $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x + 0 - x}{h}$

خطوة 4.1.4

أضف $- h^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x - x}{h}$

خطوة 4.1.5

اطرح $x$ من $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + 0}{h}$

خطوة 4.1.6

أضف $- h^{2} - 2 h x + h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h}{h}$

خطوة 4.1.7

أخرِج العامل $h$ من $- h^{2} - 2 h x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

أخرِج العامل $h$ من $- h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x + h}{h}$

خطوة 4.1.7.2

أخرِج العامل $h$ من $- 2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

خطوة 4.1.7.3

ارفع $h$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

خطوة 4.1.7.4

أخرِج العامل $h$ من $h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 1}{h}$

خطوة 4.1.7.5

أخرِج العامل $h$ من $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 1}{h}$

خطوة 4.1.7.6

أخرِج العامل $h$ من $h (- h - 2 x) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

خطوة 4.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $- h - 2 x + 1$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x + 1$

خطوة 4.2.2

أعِد ترتيب $- h$ و $- 2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h + 1$

خطوة 5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $2 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

خطوة 7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + 1$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$- 2 x + 0 + 1$

خطوة 8.2

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$- 2 x + 1$

خطوة 9