حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} - 1$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 1$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

أعِد كتابة ${(x + h)}^{2}$ بالصيغة $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 1$

خطوة 2.1.2.1.2

وسّع $(x + h) (x + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 1$

خطوة 2.1.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 1$

خطوة 2.1.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 1$

خطوة 2.1.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 1$

خطوة 2.1.2.1.3.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 1$

خطوة 2.1.2.1.3.2

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.3.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 1$

خطوة 2.1.2.1.3.2.2

أضف $h x$ و $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 1$

خطوة 2.1.2.2

الإجابة النهائية هي $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 1$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 1$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 1$

خطوة 2.2.2

أعِد ترتيب $2 h x$ و $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1$

$f (x) = x^{2} - 1$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1$

$f (x) = x^{2} - 1$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1 - (x^{2} - 1)}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1 - x^{2} + 1}{h}$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1 - x^{2} + 1}{h}$

خطوة 4.1.3

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0 - 1 + 1}{h}$

خطوة 4.1.4

أضف $h^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 1 + 1}{h}$

خطوة 4.1.5

أضف $- 1$ و $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

خطوة 4.1.6

أضف $h^{2} + 2 h x$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

خطوة 4.1.7

أخرِج العامل $h$ من $h^{2} + 2 h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

أخرِج العامل $h$ من $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

خطوة 4.1.7.2

أخرِج العامل $h$ من $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

خطوة 4.1.7.3

أخرِج العامل $h$ من $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

خطوة 4.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $h + 2 x$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x$

خطوة 4.2.2

أعِد ترتيب $h$ و $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

خطوة 5.2

احسِب قيمة حد $2 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 7

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 8