حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 5$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 5$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

خطوة 2.1.2.2

الإجابة النهائية هي $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

خطوة 2.2.2

انقُل $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5$

خطوة 2.2.3

انقُل $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 5$

خطوة 2.2.4

انقُل $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

خطوة 2.2.5

أعِد ترتيب $3 h^{2} x$ و $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

$f (x) = x^{3} - 5$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

$f (x) = x^{3} - 5$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - (x^{3} - 5)}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - x^{3} + 5}{h}$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - x^{3} + 5}{h}$

خطوة 4.1.3

اطرح $x^{3}$ من $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 5 + 5}{h}$

خطوة 4.1.4

أضف $h^{3}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 + 5}{h}$

خطوة 4.1.5

أضف $- 5$ و $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

خطوة 4.1.6

أضف $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

خطوة 4.1.7

أخرِج العامل $h$ من $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

أخرِج العامل $h$ من $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

خطوة 4.1.7.2

أخرِج العامل $h$ من $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

خطوة 4.1.7.3

أخرِج العامل $h$ من $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

خطوة 4.1.7.4

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

خطوة 4.1.7.5

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

خطوة 4.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

خطوة 4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

انقُل $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

خطوة 4.2.2.3

أعِد ترتيب $3 x h$ و $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

خطوة 5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $3 x^{2}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

خطوة 7

انقُل الحد $3 x$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

خطوة 8

انقُل الأُس $2$ من $h^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

خطوة 9

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

خطوة 9.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اضرب $3 x \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1.1

اضرب $0$ في $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

خطوة 10.1.1.2

اضرب $0$ في $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

خطوة 10.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$3 x^{2} + 0 + 0$

خطوة 10.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{2} + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2} + 0$

خطوة 10.2.2

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2}$

خطوة 11