حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{2}$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أعِد كتابة ${(x + h)}^{2}$ بالصيغة $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h))$

خطوة 2.1.2.2

وسّع $(x + h) (x + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h))$

خطوة 2.1.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

خطوة 2.1.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

خطوة 2.1.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

خطوة 2.1.2.3.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

خطوة 2.1.2.3.2

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

خطوة 2.1.2.3.2.2

أضف $h x$ و $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

خطوة 2.1.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2}$

خطوة 2.1.2.5

اضرب $2$ في $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

خطوة 2.1.2.6

الإجابة النهائية هي $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2}$

خطوة 2.2.2

أعِد ترتيب $6 h x$ و $3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - (3 x^{2})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 3 x^{2}}{h}$

خطوة 4.1.2

اطرح $3 x^{2}$ من $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}$

خطوة 4.1.3

أضف $3 h^{2} + 6 h x$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}$

خطوة 4.1.4

أخرِج العامل $3 h$ من $3 h^{2} + 6 h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

أخرِج العامل $3 h$ من $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}$

خطوة 4.1.4.2

أخرِج العامل $3 h$ من $6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}$

خطوة 4.1.4.3

أخرِج العامل $3 h$ من $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

خطوة 4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $3 (h + 2 x)$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x)$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x)$

خطوة 4.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x$

خطوة 4.2.3.2

أعِد ترتيب $3 h$ و $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

خطوة 5.2

احسِب قيمة حد $6 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

خطوة 5.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$6 x + 3 \cdot 0$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $3$ في $0$ .

$6 x + 0$

خطوة 7.2

أضف $6 x$ و $0$ .

$6 x$

خطوة 8