حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

خطوة 3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

خطوة 3.2

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

خطوة 3.3

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

خطوة 3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.5

أضف $1$ و $1$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

خطوة 3.6.5

بسّط.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

خطوة 4

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

خطوة 4.1.2

الإجابة النهائية هي $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ .

$\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

خطوة 4.2

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

خطوة 5

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} - (\frac{\sqrt{x}}{x})}{h}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

لكتابة $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

خطوة 6.1.2

لكتابة $- \frac{\sqrt{x}}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

خطوة 6.1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + h) x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ في $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

خطوة 6.1.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{x}}{x}$ في $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{x (x + h)} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة $\frac{\sqrt{x + h} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + h}$ في صورة ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.4

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.4.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.4.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{1 + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2 + 1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.4.5

أضف $2$ و $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.5

أعِد كتابة ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.5.1

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.5.1.1

أعِد ترتيب ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ و $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.5.1.2

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $x {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.5.1.3

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.5.1.4

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $- x^{\frac{1}{2}} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.5.1.5

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.5.1.6

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} - h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.5.2

اقسِم $2$ على $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.5.3

بسّط.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.6

اختزِل العبارة $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h))}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h))}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 6.1.5.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x + h}}{h}$

خطوة 6.1.6

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

خطوة 6.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 6.3

اضرب $\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

خطوة 6.4

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

خطوة 7

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حوّل الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

خطوة 7.1.3

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h} - x - h}{h \sqrt{x} (x + h)}$

خطوة 7.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x (x + h)} - x - h}{h \sqrt{x} (x + h)}$

خطوة 8

Since the numerator is negative and the denominator $h \sqrt{x} (x + h)$ approaches zero and is less than zero for $h$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$

خطوة 9