حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} + 1$ , $[2, 3]$

خطوة 1

أوجِد مشتق $f (x) = x^{3} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 0$

خطوة 1.1.4

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

$f' (x)$ متصلة على $[2, 3]$ .

$f' (x)$ متصلة

خطوة 4

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f'$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 5

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\int_{2}^{3} 3 x^{2} d x)$

خطوة 6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 \int_{2}^{3} x^{2} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}))$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}))$

خطوة 8.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $3$ وفي $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2.2.2.4

اقسِم $9$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{2^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{8}{3}))$

خطوة 8.2.2.4

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}))$

خطوة 8.2.2.5

اجمع $9$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}))$

خطوة 8.2.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3 - 8}{3}))$

خطوة 8.2.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.7.1

اضرب $9$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27 - 8}{3}))$

خطوة 8.2.2.7.2

اطرح $8$ من $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{19}{3}))$

خطوة 8.2.2.8

اجمع $3$ و $\frac{19}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

خطوة 8.2.2.9

اضرب $3$ في $19$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{57}{3})$

خطوة 8.2.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $57$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.10.1

أخرِج العامل $3$ من $57$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

خطوة 8.2.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 (1)})$

خطوة 8.2.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1})$

خطوة 8.2.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{19}{1})$

خطوة 8.2.2.10.2.4

اقسِم $19$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (19)$

خطوة 9

اطرح $2$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

خطوة 10

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

خطوة 10.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = 1 \cdot 19$

خطوة 11

اضرب $19$ في $1$ .

$A (x) = 19$

خطوة 12