حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ , $[0, 4]$

خطوة 1

تحقق مما إذا كانت $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $[0, 4]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{4}{5} \sqrt[4]{x^{5}}$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt[4]{x^{5}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x^{5} \geq 0$

خطوة 1.1.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt[5]{x^{5}} \geq \sqrt[5]{0}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x \geq \sqrt[5]{0}$

خطوة 1.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1

بسّط $\sqrt[5]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{5}$ .

$x \geq \sqrt[5]{0^{5}}$

خطوة 1.1.3.2.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x \geq 0$

خطوة 1.1.4

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 0}$

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 0}$

خطوة 1.2

$f (x)$ متصلة على $[0, 4]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ قابلة للاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

اجمع $\frac{4}{5}$ و $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

خطوة 2.1.1.2

بما أن $\frac{4}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

خطوة 2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

خطوة 2.1.1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

خطوة 2.1.1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

خطوة 2.1.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

خطوة 2.1.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.7.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

خطوة 2.1.1.7.2

اطرح $4$ من $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

خطوة 2.1.1.8

اجمع $\frac{5}{4}$ و $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

خطوة 2.1.1.9

اضرب $\frac{4}{5}$ في $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

خطوة 2.1.1.10

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.10.1

اضرب $5$ في $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

خطوة 2.1.1.10.2

اضرب $5$ في $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

خطوة 2.1.1.11

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

خطوة 2.1.1.12

اقسِم $x^{\frac{1}{4}}$ على $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$

خطوة 2.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

خطوة 2.2

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $[0, 4]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $[0, 4]$ أم لا، أوجِد نطاق $f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\sqrt[4]{x^{1}}$

خطوة 2.2.1.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$\sqrt[4]{x}$

خطوة 2.2.1.2

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt[4]{x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x \geq 0$

خطوة 2.2.1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 0}$

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 0}$

خطوة 2.2.2

$f' (x)$ متصلة على $[0, 4]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 2.3

الدالة قابلة للاشتقاق على $[0, 4]$ لأن المشتق متصل على $[0, 4]$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 3

لضمان الحصول على طول القوس، يجب أن تكون الدالة ومشتقاتها متصلة في الفترة المُغلقة $[0, 4]$ .

تُعد الدالة ومشتقاتها متصلة في الفترة المغلقة $[0, 4]$ .

خطوة 4

أوجِد مشتق $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{4}{5}$ و $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

خطوة 4.2

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

خطوة 4.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

خطوة 4.5

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

خطوة 4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

خطوة 4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

خطوة 4.7.2

اطرح $4$ من $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

خطوة 4.8

اجمع $\frac{5}{4}$ و $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

خطوة 4.9

اضرب $\frac{4}{5}$ في $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

خطوة 4.10

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

اضرب $5$ في $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

خطوة 4.10.2

اضرب $5$ في $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

خطوة 4.11

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

خطوة 4.12

اقسِم $x^{\frac{1}{4}}$ على $1$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

خطوة 5

لإيجاد طول قوس الدالة، استخدِم القاعدة $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}} d x$

خطوة 6